SUPÉRIEURS
Résoudre les équations suivantes :
1136. * J — Sx* + 5.r +14=0.
1138. jc>— i0x'-\-3ô.t s — 50a+24=0.
1143. ^-Sx+g=0.
iUU problèmes d'algèbre
Résolution des équations à deux ou plusieurs inconnues des degrés
supérieurs.
Résoudre les équations suivantes :
1 1 64. ^—2^+^+44?— 4r+3=sr0
1167. ^— 5/^+8^— a:— kf +/=0
1168. Trouver 1 équation finale résultant de l 'élimination entre les deux équations générales du deuxième degré à deux inconnues
Px , +Qx+R=0 R**+Q'*+R f =0
dans lesquels tions dy.
1169. Trouver l'équation finale résultant de l'élimination entre deux équations du troisième degré dont la forme générale est
Px 3 +Q^r â +rU+S = 0 - F^+^+ R ^+ sr =0.
On emploiera pour cette élimination soit la méthode du diviseur commun , soit la méthode du coefficient pour abaisser le degré des deux équations , soit enfin la méthode des fonctions symétriques , ce qui donnera au lecteur l'occasion d'appliquer les formules de ces fonctions dans toutes leurs variétés. -
1170. Si l'on avait à éliminer entre deux équa-
U6 PROBLÈMES D'ALGBBRB
tions du quatrième degré à deux inconnues telles que
|Q <r » | R** J Sj; +T = 0
on les ramènerait au système des deux équations
(FQ — PQ')^+ (P'R — PR )x 8 + (PS — PS>;+(P'T — PT')= 0 (PT' — P'T> 3 + (QT - Q'T> f + (RT' -Rl> + (ST' — ST) = 0
auxquelles on appliquerait la formule de l'équation finale résultant de l'élimination entre deux équations du troisième degré.
1171. Résoudre les équations suivantes :
ji'z-\-(y — 1).r — -B — 1 =0
Résolution des équations littérales.
Résoudre les équations suivantes en décomposant leurs premiers membres en facteurs premiers rationnels !
1172. 2^+rta,- 3 +tfV+« 3 .r— à'=Q.
1175. (d—$ab)j<+(a>-.a>b—a!ï) r
1174. ^^^ary-^r^i^wjs^ :t?+M\)z
11 7o. Résoudre léqualion suivante :
par la méthode des coefficients indéterminés, en substituant à la place de x sa valeur
x = A -|- Bé-|- D# + etc.
Recherche des facteurs du deuxième degré.
Trouver les facteurs du second degré du premier membre des équations suivantes ;
1176. aï—x i —]trX>—x—]5=Q.
1 1 78. y -)^-|-c«x«+2^V— 2c^— 2 c y—cîf
+cy— aV+2aV^--aV=:0.
Problèmes qui donnent lieu à des équations de degrés supérieurs
au deuxième.
1179. Quel est le nombre dont le tiers multiplié par le carré donne pour produit 1944?
1180. Trouver un nombre tel qu'en multipliant ensemble sa moitié, son tiers et son quart, on obtienne 4608 pour produit.
1 1 81 • On sait qu'un nombre est tel , qu'après avoir divisé sa quatrième puissance par sa huitième partie, l'excès de ce quotient sur 12000 est 167 : quel est ce nombre ?
1 182. On a acheté pour 1 64 fr. 64 c. des oranges, qu'on a renfermées dans un certain nombre de paniers dont chacun contient trois fois autant d'oranges qu'il y a de paniers en tout; chaque orange coûte 2 fois
iUS PROBLÈMES D' ALGÈBRE
autant de centimes qu'il y a de paniers : combien y a-t-il de paniers et d'oranges ?
1183. Quelques négociants ont fait une société, pour laquelle chacun a mis 4000 fois autant de francs qu'ils sont d'associés; cette affaire leur ayant rapporté 2560 francs, il se trouve qu'ils ont gagné précisément la moitié autant pour 100 qu'ils sont d'associés : quel est ce nombre ?
1 1 84. Un capital de 1 0000 francs , placé à intérêts composés, s'est élevé, au bout de 3 ans, à 1 1 576 fr. 25 c, capital et intérêts réunis : à quel taux a-t-il été placé ?
1185. Trouver trois nombres tels, qu'en multipliant le carré du premier par le deuxième , le résultat soit 1 1 2 ; le carré du deuxième par le troisième , 588 ; le carré du troisième par le premier, 576.
1186. En général, a 9 b, c f représentant les produits successifs du carré de chacun des 3 nombres par le suivant, exprimer ces 3 nombres.
■ 1187. Avec les mêmes conditions, si a 9 b, c, d, représentent les produits indiqués dans l'énoncé du problème précédent , quelle est la valeur de chacun des 4 nombres demandés ?
1188. On a tiré d'un tonneau, qui contient 81 litres de vin , une certaine quantité qu'on remplace par de l'eau; on en tire encore la même quantité de liquide 4 fois de suite, en ayant soin de remplacer à chaque fois par de l'eau le liquide qu'on a retiré du tonneau; après ces quatre opérations il ne reste plus que 1 6 litres
de vin pur dans le tonneau : combien a-t-on retiré de litres chaque fois ?
1189. Trouver deux nombres dont la différence est 4 , et tels que leur produit multiplié par leur somme donne 1386.
1190. Une personne achète pour 144 francs une pièce d'argenterie qui pèse autant délivres qu'elle contient d'onces d'argent fin ; elle l'a payée 8 sous de plus par once d'argent fin que la pièce ne lui aurait coûté de sous si elle l'avait payée 1 sou par livre : quel est le poids de la pièce d'argenterie?
1 191. Des officiers se mettent en marche avec un détachement , cavalerie et infanterie; chaque officier a sous ses ordres 3 fois autant de cavaliers et 7 fois autant de fantassins qu'il y a d'officiers; chaque cavalier a 2 cartouches et chaque fantassin 22 cartouches de plus qu'il n'y a d'officiers ; les cavaliers et les fantassins ont en tout 1 5360 cartouches : quel est le nombre d'officiers ?
1192. On demandait à quelqu'un combien il avait dépensé pendant la journée , il répondit : J'ai dépensé aujourd'hui 4 francs de plus, et hier 2 fois autant qu'avant-hier ; et si, après avoir multiplié entre elles toutes les sommes que j'ai dépensées dans ces 3 jours, j'ajoutais 756 au produit, j'obtiendrais un nombre 1 34 fois aussi grand que ce que j'ai dépensé dans la journée.
Combien avait-il dépensé ?
1193. Quelques marchands ont mis une certaine
somme en commun : chacun d'eux a mis 1 0 fois autant de francs, et ils gagnent 8 pour 100 de plus qu'ils ne sont d'associés; le gain total est de 288 francs ; combien étaient-ils?
1194. Des marchands ont réuni à un capital de 8240 francs une certaine somme, pour laquelle chacun a mis 40 fois autant de francs, et le gain est d'autant pour 100 , qu'ils sont d'associés; au partage, chacun reçoit autant de fois 1 0 francs qu'ils sont d'associés, et il reste encore 224 francs à partager : combien y a-t-il d'associés?
1 19o. Quatre personnes , A, B, C, D, ont chacune une certaine somme; B, 1 franc de plus que A; C, 1 franc de plus que B, et D, 1 franc de plus que G ; §i l'on multiplie entre elles les quatre sommes , on obtient 1 1 68 francs de plus que le cube de la somme de D ; combien chacune a-t-elle ?
1196. Un entrepreneur fait travailler 3 fois autant de journaliers que chacun reçoit de sous par jour ; ils travaillent ensemble 100 jours de moins qu'il n'y a de sous dans le prix total des journées , et ils reçoivent ensemble 3000 francs : combien y a-t-il d'ouvriers ? combien de jours ont-ils travaillé ?
1197, Partager le nombre 63 en deux parties telles, que, si l'on multiplie par le plus grand nombre le quotient du grand par le plus petit, le produit, augmenté de 20 \, soit un cube parfait, dont la racine, augmentée d'une unité , égale le septième du plus grand nombre : quelles sont ces parties ?
1198. Quatre fontaines , coulant ensemble, remplissent un bassin en 115 minutes J- ; la deuxième mettrait 4 heures , la troisième 8 heures et la quatrième 12 heures de plus que la première, pour le remplir seule : combien de temps faudrait-il à la première fontaine, coulant seule, pour remplir le bassin ?
1199. Déterminer trois nombres par les conditions suivantes : la somme du premier et du deuxième = a , la somme des carrés du deuxième et du troisième =b, et la somme des cubes du premier et du troisième ==c,
1 200. La somme a de deux nombres et la somme b de leurs sixièmes puissances étant données, trouver ces nombres.
1301 . La somme a de deux nombres et la somme h de leurs septièmes puissances étant données , déterminer ces deux nombres.
1202. m fois la différence de deux pombrea ajouté à n fois le produit des deux nombres donne une somme a ; la différence multipliée par la somme des carrés donne un produit b : trouver ces deux nombres.
1203. La somme de trois nombres =a y la somme de leurs produits deux à deux=à, et le produit des trois nombres multipliés entre eux = c : trouver ces trois nombres.
1204. On donne la somme a de trois nombres, la somme b de leurs produits deux à deux, et la somme c
des six produits qu'on obtient en multipliant chacun deux par le carré des deux autres : trouver les trois nombres.
1205. Si Ton donnait la somme a de trois nombres, la somme b de leurs carrés et la somme c de leurs cubes , comment pourrait-on déterminer ces trois nombres?
1206. La somme des carrés de deux nombres est a 9 la somme de leurs cubes b : quels sont ces nombres?
1207. La somme des produits de trois nombres deux à deux=a, la somme de leurs carrés =b, et le produit des trois nombres = c : trouver l'équation qui doit donner leurs valeurs.
1208. La somme des produits de trois nombres deux à deux = a, la somme des carrés =b, la somme des cubes =c : trouver l'équation finale qui doit donner leurs valeurs.
1209. La somme des produits de trois nombres deux à deux=«, la somme des carrés =b, la somme des six produits qu'on obtient en multipliant chacun des nombres par le carré des deux autres=c : trouver ces trois nombres.
1210. On a trois nombres en proportion continue, dont la somme est a et la somme des cubes b : trouver ces nombres.
1211. Soient a = 51, £=1971 : résoudre les équations finales.
1212. Dans une progression par quotient composée de quatre termes, on connaît la différence des extrêmes =a, et la somme des moyens =b : trouver les termes de la progression.
1213. Dans une progression par quotient la somme des deux moyens=a, et la somme des carrés des deux extrêmes =b : déterminer la progression.
