Le carré dont les sommets touchent les milieux

du carré proposé.

785. Le cylindre qui a pour rayon de base et pour hauteur la moitié du rayon de la base et de la hauteur du cône.

RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS INDÉTERMINÉES DU PREMIER ET DU DEUXIÈME DEGRÉ, EN NOMBRES ENTIERS ET POSITIFS.

Quelques exemples suppléeront au défaut de la règle, qui ne peut être exprimée d'une maruère générale.

Premier exemple. — Soit à résoudre en nombres entiers et positifs l'équation

Je prends la valeur de l'inconnue qui est affectée du moindre coefficient, et, effectuant la division autant

que possible, j'obtiens

y— — îg— <M Ï9~-

Pour que^- soit un nombre entier, il faut que 1Q soit aussi un nombre entier. Je fais donc

8a:— 5 , , 19^+5 n , , 3*+5 -T9~ = ^ dou x=-^=2t-\

Je pose pour la même raison

Et enfin posant --£-=n, il vient t'=3n — 2;

ET RÉSULTAIS DIS EXERCICES DE CALCUL ALGÉBRIQUE. 291 d OU

t=3t ! —]—n=$n—7, .r=2/+*'=19rt— 16, et * ^—^—2+^=27/1—25.

Les valeurs générales de x et de y sont donc x=19/i— 16, ^=27/*— 25,

dans lesquelles on donnera à n toutes les valeurs entières et positives rc=1 , 2,3 à l'infini; d'où résulteront une infinité de valeurs pour x et pour y.

Lorsqu'on connaît un couple de valeurs convenables a et p d'une équation ax-\-by=c y les valeurs générales sont

x=aL-\-bt, — at ou x=a — bt, y=^J^at.

Ainsi 3^+7^=39 donne sur-le-champ

(Voir le n° 1039, fractions continues.) Deuxième exemple. — Résoudre en nombres entiers et positifs les équations

2x + 3j+ z= 15, 1 Or— Ay+ 3s= 1 0 .

La première donne 2=15 — 2x — 3/; substituant dans la deuxième et réduisant, j'obtiens

4r-13,-+35=0; d'où x= 1 -*^^y-9+^ 1 .

Faisant £ii=f,

yz=.Ut—\ , x=%y— 9-f*=13f-- 12, eU=A2— 38*.

Les valeurs générales sont donc x=V3t— 12, j=Ut— 1, 5=42— 38f.

On ne peut donner à t que la valeur t=\ ; le problème n'a qu'une solution

Troisième exemple. — Résoudre en nombres entiers et positifs l'équation

J'ai d'abord

je fais 2— > +2 = 3f,

et 7= :

alors il vient

valeurs générales des inconnues en fonction de deux indéterminées t et t 1 .

Quatrième exemple. — Résoudre en nombres entiers l'équation du deuxième degré

Sxjr — 7x — lj= 5. .

Résolvant par rapport à y, il vient

Il faut donc 1 0 que 3.r — 7 soit un des diviseurs de 64 ;

2° que 7-|- 3x 7 soit un multiple de 3. Pour satisfaire

à la première condition , il faut que Ton ait pour 3a — 7 une des valeurs suivantes :

De plus , pour que x soit entier, il faut que ce diviseur, augmenté de 7, soit un multiple de 3.

Les seules valeurs admissibles sont