SUPÉRIEURS

Nous allons exposer les résultats principaux de la théorie générale.

Soit F(x)=Q une équation du degré m de la forme

On peut la ramener à la forme

y> + P/-' + Qj— . . . + 1> + U = 0 [2]

par la substitution de * à la place de x , ce qui se fait

en multipliant chacun des termes de F(j?)=0 par les puissances croissantes de a , c'est-à-dire a\ cf 9 t£..., a m , et changeant x en y. Les racines de l'équation transformée sont égales aux racines de la proposée multipliées par a.

La même règle sert à faire disparaître les dénominateurs de l'équation sans introduire un coefficient dans le premier terme.

Pour faire disparaître le deuxième terme de l'équation [2], il faut substituera*—^ k y, ce qui se fait à l'aide des dérivées.

1 re dérivée. F* (y) = m 7— 4-(/rc— 1 )P/"~*

+(m— 2)Qy<^+...+ s , 2 e dérivée. Y«(y)=m(m—<\\r m -' 1

et ainsi de suite.

Chaque dérivée se forme terme à terme de la précédente, et la première de l'équation proposée, en multipliant le coefficient par l'exposant, et diminuant l'exposant d'une unité.

La substitution de / -\-h à la place de x dans l'équation [1] donne

ou bien

FCr), *V)> F«W-F(A), F*(A), ¥"(h)...

désignant ce que deviennent

quand on y change x en / ou en k.

Si r est une racine de l'équation V(x) = 0 de la forme

le premier membre est divisible par x—r, et le quotient

peut s'obtenir immédiatement à l'aide des relations suivantes :

a'=a, U=cir-\-b, d=Ur-\-c, (t=dr-\-d, etc.; si a=\ ,

on a

r/=1, U=r-\-b, J=Ur-\-c, d=dr-\-d, etc.;

chaque terme se formant successivement du précédent.

Racines commensurables.

Pour que /• soit racine de F(#) = 0, il faut qu'il soit diviseur du dernier terme ; qu'il divise exactement la somme qu'on obtient en ajoutant le quotient avec le coefficient du terme en x\ qu'il divise exactement la somme du nouveau quotient ajouté au coefficient du terme en x s 9 et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on arrive à ajouter le coefficient du premier terme de l'équation avec le dernier quotient, ce qui devra donner une somme égale à zéro.

On essayera donc tous les diviseurs du dernier terme en ne prenant que les nombres compris entre les limites supérieures et inférieures des racines de l'équation.

Limites. — La limite supérieure des racines positives est L= S \ , S désignant le plus grand coefficient négatif. On a encore une limite plus rapprochée en prenant

n désignant la différence entre le degré de l'équation et le degré du premier terme négatif.

La limite inférieure est /=^-^, R désignant le

plus grand coefficient de signe contraire au dernier terme U.

Connaissant une racine commensurable r, divisez le premier membre de Y équation par .r— r autant de fois qu'il sera possible, et répétez la même opération pour toute autre racine commensurable r*, r*...

Mais on peut obtenir les racines égales en cherchant le plus grand commun diviseur D entre F(x) = 0 et F f (x)= 0 ; le premier membre de D= 0 est le produit des facteurs égaux de F(.z), pris chacun une fois de

moins; -^=0 ne contiendra plus que des racines inégales.

Racines incommensurables.

Méthode de Newton. — Soit aune racine approchée à ~ près : faites x=ol dans et poussez l'approximation à près ; soit (3 cette valeur, substituez f) à x

dans *g, et poussez l'approximation à ^ près, et

ainsi de suite. Cette méthode n'est pas toujours certaine.

Méthode de Lagrange. — Changez F(#) = 0 en une autre f(x) dans laquelle les racines diffèrent entre elles de plus d'une unité. Soit a la partie entière d'une

racine réelle et positive, faites #=a-|-l dans/(.r)=0,

il viendra f(jr)= 0, qui n'aura qu'une racine réelle et positive > 1 .

Substituez slj les nombres 1 , 2, 3. . ., jusqu'à ce que vous parveniez à deux résultats de signes contraires ,

et soit p le plus petit des nombres; faites y= (3 -f- i,

et substituez dans f{j)=0; il viendra /(z) = 0, qui

donnera à son tour z = y -j- 1 , d'où J[u) = 0 , qui

donnera pareillement a=8-f"7> et ànsi de sinte ; de sorte que

-j- etc.

Racines imaginaires .

Elles sont toujours en nombre pair et de la forme a±bsj — 1 . Faites dans F(x)=0, débarrassée de ses racines commensurables, x=y-\-zs] — 1 , ce qui donnera f(jr, z)+f(jr, 2)v/^î=0; d'où f(jr, z)=0, f(jr 9 z)=0; et l'élimination entre ces deux équations fera connaître les couples de valeurs de x.

Théorème de Descartes. — Une équation complète ou incomplète ne peut avoir plus de racines positives que de variations. Une équation complète ne peut avoir plus de racines négatives que de permanences.

Par conséquent , pour qu'une équation n'ait que des racines réelles, il faut que l'équation aux carrés des différences n'ait que des variations.

Méthode de Sturm. — Étant donné F(jr)=^0, débarrassée de ses racines égales, divisez F(x) par F^x), et soit R t le reste de la division après qu'on a changé les signes de tous les termes de ce reste; divisez F^x) par R, , et soit R, le reste après changement des signes ; divisez encore Rj par R,, et ainsi de suite jusqu'à ce que vous obteniez un reste numérique R n , dont vous

350 SOLUTIONS DES PltfHlJLBMES I>' ALGÈBRE

changerez aussi le signe : alors vous aurez la'suite ¥{x) t F*(r), R., H,, R....R».

Pour savoir combien il y a de racines comprises entre deux limites données a et p , a < (3 , substituez a dans la suite précédente, et écrivez par ordre, sur une même ligne , les signes de tous les résultats ; puis comptez le nombre de variations contenues dans cette suite de signes.

Substituez de même (3 , écrivez les signes des résultats, et comptez les variations de cette seconde suite de signes : autant elle aura de variations de moins que la première, autant F(x)=Q aura de racines réelles comprises entre a et p. s

Si a et p représentent les limites des racines , vous connaîtrez le nombre de racines réelles de l'équation.

Équations réciproques.

Toute équation de degré impair dont les termes à égale distance des extrêmes ont des coefficients égaux et de même signe ou de signe contraire est réciproque, et son premier membre est divisible par x — 1 oux-f-1 .

Toute équation de degré pair dont les coefficients à égale distance des extrêmes sont égaux et de même signe , si le terme du milieu ne manque pas , et , si ce terme du milieu manque, sont égaux et de même signe ou de signe contraire, est réciproque, et son, premier membre est divisible par x* — 1 ; alors faites

dans F (x) = 0 de la forme v >T *»|P. r *»-t-(Q. r «— « j- e tc. =0 ,

vous aurez en même temps

et l'équation résultante J(z)z=0 sera réduite au degré m.

Équations binômes.

.r"±Ax=0.

Les racines dépendent de celles de l'équation

qu'on appelle les racines de l'unité :

1 , OLy a*, a 8 ..., 0L m ~ l .

Fonctions symétriques des racines des équations.

a y b, c, </..... étant les racines de l'équation F(.z)=0, de la forme

af» -|- p^-J-Q^-J-Rr^-L. +Xr+U=0,

si S,=a -\-b -(-c -\-d....

on aura

S,+P=0, S,+PS,+2Q = 0, S>+PS,+QS l +3R=0,