DONNE

On peut facilement vérifier que ces équations vérifient la con-

2 02 e . L2 dition . — =, pour que le problème soit possible, Mais cela

résulte aussi de la suite du calcul. On a :

Ô Ôc dx + xd dq = SL de + dy = qu

— ydy).

Æ >y é + 8xy(xdx — ydy)

Si on pose g == æyv l(xy | LS fn CG en rem —= Axyd(x? — y?) v — A(x? — y?) + 20

u—p+qi= ct + Aayi— Gay? — Axyi + y} + c(x? + oxyi — y?) — = (x + pit + ce + pi)? = 2 + cc?

où c est une constante réelle.

On peut aussi éviter de former les dérivées, en cherchant les relations qui existent entre les quantités réelles x, y, p, q, et les imaginaires 2 = x + Yi, up + gi. On a :

. x? + oxyt— y? + 29 RE en ep de EE 1 A SAN PR NOR Se dt L'URL T ONE E pi Le 9% a EN ROVER AE Pa pe FT 2xy 2(x i 4.

Une fonction imaginaire ne peut être identiquement égale à une fonction réelle, que si elle est égale à une constante réelle, ce qui

donne us + et (x + yi)f + ex + yi)?

P = x* — 6x?y* —- y* nues c(x? LT PA y?) Q = daylet — y?) + amy.

78. Gelte intégrale est la somme des intégrales autour des deux points z—oet r. Autour du point z = 0, on a :

[= fe dit h 2? + a32°)ef dz = e/ C C

1 1 1 — [a + di + 1 267 a + @37°) (a SE T —- je — 23 ne .}dz C # 4

En effectuant le produit, on a des intégrales qui sont des fonctions uniformes, et ont une variation nulle sur le cercle c, sauf le terme

De même, autour du point z = 1, on a, en posant z — 1 —{

Wei fe + «17 + 22? + as ee! dz —

ee [ (a+at + td) + ai + ot + À) + ai + 314-312 +8) )et dt —

e/ C REY: CR Le: ds O0 EU dz 1 2 3 | ) REP k 3 ) NP

= (a+a+a+a+ 2 6 24 Ze (l

— (a+ a+ Tete +i +) ai

1 du fe + 47 + 422? + ay2) (is —+- ei +- e° …) dz —

a a as

— (4a + {a + a 6 79. F(2) est la somme des intésrales prises autour de chacun des

points singuliers intérieurs au cercle c, dont le nombre est limité.

Soit u — a un de ces points, f(u) peut se développer en séries de

puissances positives et négatives de u — a. Soit

La série Q(u — a) est convergente pour toute valeur de z, sauf u — a. Autour du point u — a, sur un cercle ne contenant aucun autre point singulier intérieur, on a :

‘LEE du ml + z(u — k +- AR + .….)Q(u — a)du —