AT AS (B
, LL LA! LA LI Gh c'est une fonction entière, car la série D By est convergente pour
F(2) est la somme d'un nombre fini de fonctions analogues, pour chaque point singulier, c’est une fonction entière.
a fle:ftu)du sur le cercle c est égal à fe" Q(u — a)du sur
tout contour fermé comprenant u — a, et aussi sur €. On peut ainsi remplacer /{u) par la somme des fonctions Q{(u — a) qui corres-
De 2" i toute valeur de z, et aussi Ȉ
pondent à chacun des points singuliers. Cette somme est une fonction n'ayant pas d'autres points singuliers à distance finie. CNE
3° En remplaçant e“ par la série 1 + uz + — + ..., on peut faire le produit des deux séries, u restant sur le cercle c qui fait partie du domaine z — © , car il n’y a pas de point singulier extérieur. En laissant les intégrales qui donnent des fonctions uniformes, il reste les termes contenant”
el
AE NES ns 2,9 RS PEU
e“=fu)du — (A; + : 2 4 2n—1 + jan.
4° Si f{u) est un polynome, F(z) — o. En retranchant un polynome, on ramène P(u) au degré g — 1. Si u — a est une racine
k À P ; , d'ordre r de Q(u) — o, en décomposant Qu en fractions simples,
on a les termes
et dans F(z2),
e(B, AB de ré0h tango pr com cr) Es De même pour chaque racine de Q. Il en résulte que F(z), où les coefficients B seraient arbitraires, est la solution générale d’une équation différentielle linéaire, pour laquelle Q(a) = o est l’équation caractéristique qui permet de déterminer les coefficients a des solutions e”.
5° Si Q(u) admet les racines a, b ..., on aura Pia D er(c, + C7 + + Cn-12 71)
la racine a étant d’ordre n, et les coefficients c arbitraires
ANR M RRR 7 TL ras a QE (Éeru) (2 — 1) (2 + 1 il y a 3 pôles simples z=tet + i, et un pôle double z — 1. Il doit y avoir aussi 5 zéros, qui sont z — — 1, et z — © qui est un zéro d'ordre 4.
2° Les résidus sont :
pour z — !, PEUR 1 tee
CDN) M5
