T ÇA

La fonction L(2 cos :) a une dérivée — - tg = qui ne change de signe que pour æ = o etx — +7, elle reste finie, sauf pour x— nr, ce qui suffit pour que le développement en série de-

Fourier soit possible.

Sion posexæ—2KTr+7y, cos -— (— 1)" cos —, mais la série 2 2

ne change pas de valeur, lorsque x est augmenté de 2K7. On a

donc, quelque soit x, 4 COS 2T cos nTx 2 cos © = cos x — ME + + (—i)rit po Di

pour æ — (2K + r}rles deux membres deviennent égaux à — « ;

pour toutes les autres valeurs de x, la série est convergente. On peut encore déduire cette série du développement de la fonction

72 23 LA+D=z—< +5... +(— HE + wi

où Li — 0, pour z = 0, et | z | 1. Sion posez —pe ep sin w

L{1+ p?+ 29 cos w) +iarc megane

L(1 + ? cos w + 12 sinw)—

160 PROBLÈMFS D'ANALYSE MATHÉMATIQUE

. LA à DE ST TOR à . | . Sit+z—re", L(r + 2) = Lr + œi où & restera compris

T T entre — js ét + 5: Car, pour Z— 0,4 —0,r —]1 etz ne sort pas

du cercle de rayon 1. Si ? tend vers 1, on a :

, (DTA PA u) (Q) Lo L(i+e Jar en EDS ce de

En égalant les parties réelles, on a :

w\ COS 210 T (®) rs [hé — | — cos & — Lis FEU — (2 COS cos À À Qu Sn 86. Si RUN = <|t| Je * D1 ON pose z —;, »,0na:; pa 1 1 1 1 1 1 Poe as AS SAS Se 1 + ANS l Zz +1 Fe —{) si(e+ à) 1 2 Roi oil au ji 2) SIN ESS (3) pris ) l = BW 1 — —— 2 )