Le centre de courbure a pour abscisse

mn mi PRE X et) y °

La tangente coupe OX au point X — x — 7:

La demi-somme de ces abscisses doit être égale à x.

UE CINE Es Ki mA ae 2Y D LT = — 5) y PILE TE) LE TRUE CR AT Mel Ep EC y Dy — Le UTP: Cr s 10 C) ANT y”? ’ ) cy° qe de = gr de (RU )# Vey? — 1 Vey?— 1) 2

2% —= yVcy? — 1 — e L(yVe + Vey? — 1) + €.

É , L I CE] Cette courbe c peut se représenter, en posant ce — =; ,et en choisis-

sant l’origine, parles équations :

a a / cos t 4 HET Re (rs Lig:) d (4 COS dx cos? d a de tel di sin? { dE sin° { l

2° La normale a pour équation :

Y sin t + X cos { — y sin { + x cos {.

La distance du point P(x, o) à cette normale est :

ysint=—a elle est constante.

30 S; re 3° Si on change { en 7 —{, y ne change pas, x change de

4 PASSE ; l

signe, la courbe est symétrique par rapport à oy. Il faut que tg > . .\ . ° , . . T

soit positif, pour que son logarithme soit réel. Si { varie de o à 4

ae à d æ-diminue de + oo à o, ct y de + à a, comme tg =

varie de o à , la courbe a un point de rebroussement (0, a) sur oy, et des branches infinies paraboliques (/iq. 12).

le,

Fie, 12 F

En prenant les dérivées par rapport à 4, on a :

2 2 HACOSE 12 19 L —- Mit e 2.

J sin { x 2 + cos* { +; ; na +- cos? L sin* s 4 sin? { 9 2 a” cos” { TRE 1 I 12 12 TL — VE = ——— = LT” + y".

4 J sin! / J

Les coordonnées du centre de courbure sont :

: m'y? a/3a cos! l À=z--y J —o—y = "er +Lte;:)

x'y" — y'x sin? { “12 12 sue) 2 l * RS A 6 ; SAND CON Nues L'—— "= Yy+L —=a . .

CPAETT ay" y'z' nf sin? /

Sur cette courbe, on a :

, 1 + 2 cos“ { Xp 2 ae SRE

J sin°

1 +92 cos" 1 T/ U (74

— ES: ns" COS: er \ og . sin‘ { 2 dx V4

LA

Lorsque { varie de o à ; , À diminue de -- © à 0, YŸ augmente

de — à a, de { — : àaronala partie symétrique par rapport à

OY. La courbe a ainsi une forme analogue à une parabole, dont l'axe serait sur OY.

° Sur la courbe € on a

a cos Î ds — JR dl sin” { l'arc s, compté à Re du point de rebroussement { — sera :

2 cos { PA a e S — = {-—- —1)—=- cote? 1.

sin? £ 2\SsiIn” 2

5° L’aire ER entre un arc de courbe, ox, et les ordonnées des points / el ,, sera :

lo 2 lo a? cos? { : 2e dt A" |rydr =}; ri dira [ cotg ir —

= T (cotg? { — cotg* 1).

133. L'enveloppe de la droite æ sin 0 — y cos 0 — Ü — cos 8 s'obtient en prenant la dérivée par rapport à 0. æ cos 0 + y sin Ü — 1 + sin 0; de ces deux équations on déduit les coordonnées du point M :

æ — 0 sin 0 + cos 0 y = 1 — 6 cos 0 + sin 0.

Ce point peut être obtenu en considérant le cercle de centre {o, 1) et de rayon r, et en portant sur la tangente au point

x — cos 6, y — 1 + sin D,

une longueur égale à l'arc 0. Le lieu de ce point M est donc une développante de cercle. La normale à cette courbe est la droite

Mcos De sin 0 — 1 + sin 0, c'est la tangente au point

D —1c0%0: y —=1 + sin 0

du cercle, qui est le centre de courbure © au point M. Si, sur la normale M, on porte une longueur

wP — K.wh, les coordonnées du point P seront :

x —= cos 0 + KO sinû y —= 1 + sin 0 — KG cos 8.

Si K est constant, ce point décrit une courbe, dont la-tangente a pour équation :

NL — y ETRES VO, cos 0 — K{cos 0 — 6 sin 0) — sin 0 + K(sin 0 + 0 cos 0)

La normale a pour équation Y{(1 — K)cos 0 + K9 sin 6] — X [{(1-— K) sin 0 — K0.cos 0] — — (1 — K) cos 0 + KO(K + sin 0).

En réunissant les termes en Ÿ, on voit qu'elle passe par le point d'intersection des deux droites

Ÿ cos 8 — X sin 0 — cos 6, Y sin 0 + X cos 0 — K + sin 0

Ou :

X=—1K cos, Y—,1 + K sin 8

ce point est sur le rayon du cercle qui passe par le pointe, rayon qui a pour équation y — 1 + æ tg O, et à la distance K du centre, ce qui permet de construire la normale et la tangente.

Si K est une fonction de ÿ, l'équation de la normale à la courbe, lieu du point P, est :

Y{(1— K — K/0) cos 6 + KO sin 01 X{(1— K — K'0) sin 0 — K0 cos 0] —

—(1—K —K'0) cos0 + KO(K-+-sin 0 — K'0)

elle coupe le rayon y — 1 + x ig Ü au point

X — (K — K'06) cos 0, Y—:1-+(kK — K'6)-sin 0

k n K 8 on portera sur ce rayon la longueur K — Ÿ “5, pour construire la normale en P.

La tangente à la courbe, lieu de P, forme avec ox l'angle f,

1—K—K0 #4 8 (1—K—K'0)cos0 + Kôsine 77 KO 1 HU PE K6co50—{1—K—K'6)sin0 1—K—K6, g(0+u)