Le point T à pour coordonnées
dE) X = x — À La parallèle à la normale, menée par T, a pour équation Y+X— x na elle coupe la droite X — x, perpendiculaire à ox, au point P, D = XL, Y = — MER Le centre de courbure C a pour coordonnées :
1+7y* 1+7y* La droite PC a pour équation :
one " X— x , 1 + ve 1 STE (3; + ) A er Re GOT EEE LT elle coupe ox au point : + EN yy' ar ME
Lyy = L(x — K) + Le, yy = «x — K), = ce — K} + ec, la courbe est une conique de centre x = K, y — 0, ox étant un axe. La droite PC passe par le centre.
S1 f(x) — x, ona
1 1 by = (1 — x) JE
xx = G = C(— — 1) = 20(— x — L(i — x)) + C
Rey it
199, Les cercles de rayon R, qui passent par O, sont représentés par l'équation :
(æ — R cos 1)? + (y — KR sin #}? — R?
où { a une valeur constante, arbitraire. Un point de ce cercle peut se représenter par :
æ — R(cos { + cos 8), y = K(sin t + sin 0)
où ÿ est un paramètre arbitraire. À chaque valeur de { correspond un cercle. Sur ce cercle, on a :
dy + cos0
dé -4in:0
Si t et Ü sont variables, x et y représentent un point du plan, qui n'est réel que dans le cercle de centre O, et de rayon 2R. Si on établit une relation entre { et Ÿ, ce point décrira une courbe. Cette courbe coupera le cercle, qui passe au même point, à angle droit, si l’on a :
te 0 — dy. cos ldt - cos 0d0 d& — sin tdt — sin 040
Fagrx. — Anal, 15
(cos { dt + cos 049) cos 0 +- (sin {dt + sin 040) sin 0 — o d8 + cos ({ — 6)jdt = 0
mm!
d(t — 0) — (1 + cos (4 — 0))dt = 2 cos! !
t—090 LESNE erT + C.
Si on pose
on a :
D'rUVEP 2R?(1 + cos(t — 0)) EL CON AT
METAL ACID RES NA ARE EN BUS col MOT Tr
On peut représenter ces courbes, en coordonnées polaires, par les équations :
p— 2kR cos u, w — tgu — u + C.
Lorsque la constante C varie, la courbe tourne autour de l’origine. En choisissant l'axe, on peut supposer C — 0 ; si u augmente
at . L t A! ’ . .
deoà,, p diminue de 2R à o, w augmente de o à œ, l'origine
e e T \ { . É est un point asymptotique. De — ; à 0, on à une portion de courbe symétrique par rapport à ox. Si u augmente de 7, « diminue de x, on a une courbe symétrique par rapport à l’origine. Si w augmente de 27, on retrouve les mêmes points.
136. La droite D a pour équation NE son enveloppe s'obtient en prenant la dérivée par rapport au ‘paramètre variable x :
Le poirit de contact N, de D avec son enveloppe, a pour coor-
données :
y 2° L’ordonnée du centre de courbure en M est :
X= 8 +9. Ne
Y —., ne : 4
La courbe G devra vérifier l'équation différentielle :
HART 1 + y?
= 2 Die Le ) ol y! ! € à pipi Ta D = 1/2 dr, Pere Vy+e C V2c
Parabole, dont la tangente au sommet, y + c« —0, est symétrique
EE = ou $ nan ok ! HMRPrEN F1 de l'axe ox par rapport au foyer ( 6}, :)
137. La tangente et la normale ont pour équations : ES r er dus dr 2 = 0 elles coupent OX aux points d’abscisses X=OT=e X — ON — x + yy' on a l'équation différentielle (& +77) (x — » ) Mt à
Si on considérait y” comme fonction de la variable «&? = {, on aurait une équation du premier degré entre x° et y?
dy") \ [us ya ET) Ke Pas) as) TE c'est une équation de Lagrange, qu’on doit différentier. Mais il est
alors plus simple de diflérentier la première équation, ce qui donne :
De on Per re Ar) (e —+) ne 2 1x) PE = 9
dont l'intégrale donne :
L(cy! — y) + Ly — Le, DY = ÿ + ; ;
En remplaçant y’ par cette valeur dans la première équation, on a sa solution générale
L'équation différentielle de ces coniques peut s’écrire : x? — y? — K?° 19 !
Elle ne change pas si on change y’ en —-, les trajectoires Y orthogonales sont les mêmes courbes. En chaque point (x,, y,) passent deux de ces courbes, qui sont des ellipses et des hyperboles ayant les mêmes foyers fixes y — 0, x — + K, et qui sont orthogonales. Les deux valeurs de c sont données par l'équation
c? + (ai + yè — K?) — K?y5 — 0.
L'une c — — a, comprise entre — et o, donne une ellipse. L'autre c — b, entre o et K?, donne une hyperbole. Et l’on aura K?y? — ab. Une parallèle à ox coupe les arcs de courbe qui se
coupent en %5ÿ, AUX points
a—/@- (À) Ti) De /6+0 (F3) +0) ( — 1):
On a l'aire Jo À — à [ (ti — x)dy [e] Y nr MOT Te PLU ——— pes J Va—y?dy— are [ ae PNA ne ren. 2 dy— 7 bay? -+b sta) ÉTTARE Y HV 20 AE N rem ee vs + a arc sin a VEN CTIENE; IEEE) où y — Vab A se réduit à
KY
A — ya(a + K?) arc sin VAR VIRE D LAS
138. On peut choisir o pour origine, la droite D ayant pour équation æ + a — O0. La distance de o à la tangente
7 d . On a l'équation différentielle My
Y— av = (x + a) Vi + y?
c'est une équation de Lagrange, du premier degré entre x et y, que l’on intègre en prenant d’abord la dérivée :
dy' ( ,T+a j | dite MVL HEY— Oo.
da Y it FA) PATES Si on considère æ comme fonction de la variable y’, c'est une
équation linéaire
dæ nn ay!
TT DT Ten AM TETE
En supposant d’abord a nul, on est conduit à poser :
(y + Vi + y?) Vi + y? =
du = a k ! ce ya dy’ (2 FE) "RS NE ere re . [>° + y Vi + y? —L Gr} nl Ur ri cr ANA ENS Vi+y? c
L'équation différentielle donne
VE
D A rs EI L EVE] Vi + y? He ge
ces équations donnent æ et y en fonction du paramètre y’, \/1 + y”? peut être changé de signe, c étant alors négatif.
Les coefficients angulaires des tangentes aux courbes passant par un point A(x, y) sont les racines de l'équation :
Y'a + 2ax) + oy'ey + (x + a) — y = 0 elles sont confondues si
x?y? = (a? + 2ax) (C + a) — y°)
ou (x + a)? (y? — 2ax — &) — 0.
S1 le point À est sur la parabole
y° = 24ax + à on à
Comme on a toujours
y? >> 2ax + a°,
À est un point de rebroussement. La valeur de c, qui donne la en
courbe passant par À se déduit des expressions y — — Fi Viry =È TT 7 Pa A EN, + Meta y
AS Het A RU cy a
On peut vérifier que et a s’'annulent en ce point, qui est un dy! dy! point, qui est u point de rebroussement. Une seule courbe passe par A. Au point &æ — — a, y, les deux valeurs de y’ sont égales 12 . Y — x}!
# * mais ———— étant indéterminé
D D NET x + 4
Ps ÿ° V1 Ep = + \/ na
a deux valeurs, il y a deux courbes passant par ce point A, ces courbes ont même tangente en À, qui n'est pas un point singulier, 4 ED der
dy et dy prennent les valeurs
ét Pr sen nr
TEE Re RE VE du 4 &
139. L'enveloppe des courbes f(x, y, 4} — o est déterminée par les équations :
