V7 RE TRE
mais, en tenant compte de la seconde, il reste
l Es Je + Yf, = 0 el LP 19 H£1 ÿ4 1 re PP ap) en AR PR EE ET fyal= 0
au point considéré, æ, y et &« ont la même valeur sur les deux courbes, y a aussi la même valeur, les deux courbes sont tangentes. Pour que le contact soit du second ordre il faut que y” ait aussi la même valeur, ce qui donne
! 1 ! eu.
AGE + Yfya) — 0 cette équation détermine les points où le contact est du second ordre. Cela aura lieu pour tous les points de l'enveloppe, si cette
équation devient une identé, et comme ne peut pas être constant, il faudra que l’on ait, en éliminant y’ :
— 1 li HER 1 f= 0; Ja = 0, xA J Y — J YA) X
pour tout point de l'enveloppe, c’est-à-dire que ces trois équations doivent se réduire à 2, ou que, si on exprime # et y en fonction de #, la troisième équation doit devenir une identité. Pour les courbes données, l'enveloppe sera définie par les deux équations :
7 A FE ae a V2 LE pe — an FT ot? l+ 4x — y —0o PTE UT — ; . Fa à DR pt pu fe 1}aV? — 223 — 1222 — 0, La seconde donne :
a (4 Æ œ — x — (V2 + 1) = [y + a"? VE (V2 +-1)] 2 / 2
et, en portant cette valeur de x dans la première équation, on a :
+2y(+V2) (23 45) + (1 Paacier Vaar + Va 2)
ou [y + (1 + V2) (2? — 42) = 0.
La courbe enveloppe est représentée par les équations :
y = (1 + V2) (ay2 — °°), æ — (1 + Vo}a(a
On a :
J(æ, 7,4) = y = av? )2 — o(1 —— a3—1) (ox Va +: f,= {y — #°) A Me) PROPRES en. Le al Jx “0 DE. V2 aV2 — 1! (V2 pe 1 }aV? —?
fi pe fs = 80°? [(V3 — 1)y + a)? — ya].
TX J y
Expression qui est nulle en tout point de la courbe enveloppe. 140. Le rayon vecteur forme avec la tangente un angle v donné
par la relation tg v — + La tangente coupe la perpendiculaire OT
au rayon vecteur en un point T, OT — ? tg v — je. La normale
coupe TO au point N,
ww
ON = p cotg v — p', NTEOTEE ON—s +5.
Ona:
2 02 NP p? — — p°p' + p° 10 dp p? , P RUE ee LC EAU Er age P du Te je j do— — ads LAPAN RE do={ 1 + p Fe Ch P(pEVp?— a?) ao | Ve TT ANR
D € pui 5 (ve — a? + arc sin “Es ns p:
En choisissant la direction de l'axe, on peut supposer c — 0. On peut représenter cette courbe par les équations :
a Æ (cos {+ {sin t) P—= -—, ME sin | sin
Supposons qu’on prenne le signe +, et qu'on change {en 7 — {, e ne change pas, et w devient :
1 — cos {+ (r —-t)sini 1 — (cos {+ {sin t)
GW Tr + sin l sin
De sorte que, en faisant tourner l'axe de l'angle 7, on retrouve la courbe qui correspond au signe —.
Ces courbes sont donc représentées par les équations
a D — -—, uw — { + cotg Sin À du 1 cost PT EU RTMTETETE 9 SIn? — 2 sin? oduw sin l TN 1 to ut — - — Cols —, V — :
d> TAN 2 2 a sin? — D
L’arc s de courbe est donné par la formule
cos? L a? cos? t ; dt +
APT ER rai PET 2 ds de? + p?duw? ge ” ae 4 sin* { sin‘ — tal l dépens, A /i NAPPES es dt sin“ 2 Prat :
4 sin A TOPES | di a sin — me pere dent Et 34 2 À 2 ve sin 2, COS sin? — 2 2 2 =? à ; + : Ris — sin - dt a(: — COS -) al: —- cos :) COS? — 2 sin° — 2 2 di NPA AU e FU REREn AN ee + c 1 —+- COS — he cos, cos - à a/3— cost l
sin { sin — D)
Pour construire la courbe, 1l suffit de faire varier { de o à 7, car en augmentant { de 27, on retrouve les mêmes points; et, en changeant { en — {, pe et w changent de signe, on a des points
. A ° > T Y symétriques par rapport à oy. Si { varie de ; à 7, s augmente de T ; 4 , a à © , et w augmente de cn à r. Pour déterminer l'asymptote, il faut chercher la limite de p sin (ù — +) — TT sin (4 +- cotg sin { Re : ù 0 pour { — 7 celle expression se présente sous la forme = ,eta la
même limite que
1 Rs |
x A 2 Sin? —
Il en résulte que l’asymptote est la droite dont l'équation est
(41 Y =; Comme
