La tangente a pour équations

T T 9 - > «9 <a NT 7 Ye 3 1 ant 22?

Le plan osculateur

X — x, DEEE Z— 30

Les parallèles aux tangentes, menées par o :

REALE e2

2x 20" engendrent le cône 2XZ — Y?.

COURBES ÆT SURFACES 207 Le plan, mené par o, parallèle au plan osculateur : 2Xx? — 9Yx + Z—0

enveloppe le même cône Y? — 2XZ, c'est la condition pour que les deux valeurs de x soient égales.

2° La bissectrice de l'angle xoz, & — z, y — 0, forme avec

la tangente un angle &, les cosinus directeurs de la tangente sont

CT PE SL TU STE Fe COS a 2 == 1 + 27% D mt 1 + 24

Il en résulte que la courbe est une hélice située sur le cylindre

3° Sur cette courbe, on a ds — (1 + 2x°)dx; l'arc, compté à partir de l'origine, est :

Une développante s'obtient en portant sur la tangente, dans la

direction de l'arc allant de M à o, une longueur s + c. On obtient le point

1 2 au —c 2 M LS 3 — ee Cr ST (0 SE Sol 1 + 2x?

2 2 ñ re : DAT UT UE — 202 OS ns — EN ie NA oe. 1 + 24?

À dr je Se — 9x?

APP RE RE ER TS Cr PS Lx =; — Érauete Re OUR dE 67 1 + 22° qui décrit une quartique dans le plan X +Z2=— c. 154. On a :

se P \giue — YY d2 = (: + d)Xér a et, si æ et y sont variables indépendantes :

Xs)X — da FAN OUI dr i+3x) + cdy — Y

Fasrx. — Anal.

au point (æ, y) de la surface, l'indicatrice a pour projection, sur le plan xoy, la conique

v al 2X' 2 yX' 9 M L(: +) — “+ Ti + Dia — %

où æ,y, sont les coordonnées courantes. Le diamètre conjugué de 1 = MX, à pour équation :

2Y/2 f ri | ( Là Fe }x'— Y nr [an + Le Yi + CS Xi — +.) = 0

entre les coefficients angulaires m et m', de deux directions conjuguées, on a la relation :

S "A X’ y mm (1 + XX — Ne HR (nm + m) TR = 0

Les sections parallèles au plan ÿoz ont pour projections les

droites x — c, de coefficient angulaire nm — w , la direction conjuguée est déterminée par m — SE Les courbes c doivent vérifier

l'équation diflérentielle :

Y Ch, RS 5)

Les courbes c se projettent sur le plan ÿoz suivant des droites passant par l’origine, dont les trajectoires orthogonales sont des cercles de centre o.

155. Une ligne géodésique d’une surface est une courbe dont le plan osculateur reste normal à la surface. Ce sont les courbes qui, en chaque point, ont le plus grand rayon de courbure, parmi celles qui joignent deux points infiniment voisins. Il en résulte que ces courbes forment le plus court chemin d’un point à un autre de la surface.

Sur la surface

ZT — p COS W, RSR, z—.f(p) on à :

— f'(p}de — f'(p) (cos w dx + sin w dy).

Qt (den

La normale a pour équations :

Xe #17 Yen 00 Ai 7 f'le) cos w f)snme —1" Supposons w fonction de p, le point (x, y, 2) décrira une courbe sur la surface. Le plan osculateur à cette courbe a pour équation : À — x, cos © — 5 sin w.w/, — 2 sin &.w/ — 9 sin w &"— 5 cos ww? Y—y,sinw + pcosw.w, 2 cos &.w/ + p cos w w’— psin ww? | —0 Z—:, Je), f'(e) Ce plan contiendra la normale à la surface, si l'on a : f'(o) cos w, cos w— p sin &.w/', — sin w(20" + pw”)— p cos w.w/? Fos (p) sin w, sinw+pcosw.w, cos W(aw + pu”) —p sin w.w?|— 0

JC), Je) La” wlo(1 us f'2) QUE p2w/3 + w!(pf'f" — À 2f'?) Le à

al:

2) — 20" NE Né d ) I 2p FAT" FE 1 + f"2 c I + f"?

r . . pr + ) . , 0 I . se A équation linéaire qui détermine y en fonction de +, et s'intègre

par quadratures. On est conduit à poser :

Te uU de M DMC RO on aura :

dur wa ANSE Ep Es I p?

D eg prrarer NC n ?

na nl A do C2? — 1 p 156. La tangenté a pour squation Y—y—7y(X — x). La distance PQ, du point P(o, y) à cette tangente, est ! ——— =— ol : on a QM°— x? — PQ?

Vi + y?

24/2 2 a — x? — TJ 5 —= ss 5 4 ASS Es 1e à ENTÉ dau nu a de a° ax? — a 2x? —

= + free — a? — où = ve a > Le + va a) + €

Il est inutile de prendre le radical avec le signe —., cela revient à changer le signe de y, ou le sens de l’axe 07.

En choisissant l’origine, on peut supposer c — 0.

2° En représentant par oz l'axe de la surface de révolution, on peut la représenter par les équations :

X — P COS W, Yy=?Psnw 1 2 2 rte 2 ii 2= — — a — - L(e + — Ja VP mnt Ve a*)

, \ 4 À 4 À r paie Æ D'après le problème précédent ses lignes géodésiques seront représentées par l’équation

(D) = [2 — = L(co + V'c2p? — 1) + dc

ayc?p? — 1 (g 167. Ona” de = — l'sin » cos Gde — L cos & sin 040 dy = L'cos ÿ cos üde — [sin © sin 040 ie Il — COS o \do — 177 qd cos Ô / cos à dx, —sinv, — cos y cos 6 dy, cos &, — sin cos 0 | — © dz, O, sin 0

cos © sin 0 dx + sin © sin Üdy + cos Üdz — 0.

Les cosinus directeurs de la normale sont :

cos w sin 0, sin © sin 0, cos 0.

2 bi AR Ve sin 6d0 Fe sin 0d0 F7 cos 8 VE cos? 0 — c È WE 1 COS DATES SRE C cos? 0 On à :

; he I en 254 C ——…— re ET if C cos? 9

sur cette courbe, on a : ;

ds? dx? dy? 2 2 29 de? te? 0d0?) — l* sin? 046?

s— x + dy? + dz — lP(cos pv? + Îg Jtenéee sin Üdô

dde s—-UL PR

VE cos 0 — c, l cos 0 + WE? cos? 0 — c

On peut supposer c'— 0, ce qui revient à faire tourner les axes autour de 0z. On peut alors poser :

ke 1 sin 0d0 __ Ptg 040 = — —— ——;, d = — —— = L V cos? 0 j ® cos® 0? Fe pe.

de = — 1 sin 0 (cos & — nat ) : w cos? 0 , os dy = — l sin 0 (sing + RE) do

les cosinus directeurs de la tangente sont :

a x COS ® dcosa—=T cos Ü cos & — 9 cos 8 sin 9 — DEF) de —

— WP (y sin 0 cos 8 + en ) do — l cos? ( Ve ( SCT DANS == —— | — ô ?

+ (—esin0 sing +2 SE sin 0) dt —

EC SNS RE ; =T (- ® + LOT ) sin Ü sin ®d0 AT d cos y — — ve (sin 0d? + + cos 0d0) — Æ Ce ® + Re ;) cos 6d0.

Le rayon de courbure R est donné par la formule

1 Lke d?x 2 dy 2 (a) + (a) I ( sin? ( c? cost 8 — c

E 7) Fig 0 — P cos’ 0 sin 0°

dz\? (dcos a)? + (d cos B)? + (d cos ;)° (a) — FL PT OP RER TES

La normale principale a pour cosinus directeurs

d’x d cos « !

R San — sin 0 cos v,

ds? ds LUE A DD dz … Rs -R-yemsssn bem, R 75 — cos 0.

Elle coïncide avec la normale à la surface. Il en résulte que la courbe est une ligne géodésique. Comme elle dépend de deux constantes c et c', elle peut représenter une ligne géodésique quel-

conque.