On a

LRO MEN EE EE dx + idy z OR my. y LE MET (x + iy) (1 + im) L(æ + y) = (1 + nu)Lz + C

où C est une constante imaginaire, qui sera égale à

C—= La — (1 + mile si la courbe passe par le point (a, o, c)

e+yi= (© er

ou œ

o RTL) p— ae",

L'arc de cette courbe est donné par la formule

20) ds? — de? + pidu? + dé — (as Lu "= ) e" de?

2 2 UV Er à nes d. e" do — Va + ce + am? (e" — 1). [e]

Le centre de gravité de l'arc est déterminé par les formules :

S n xf Us f'œus vf = | yds, z [a = fs O y D

At "À 20 20 x | e"dw — | acosuwe * do — le sin w —- 2 COS w} € "[ 0 o iH+n o É à zu X(e" — 1) — Z ee. [m sin we ” + 2 cos we " — 2]

w u) EN 20) FU) (a , f er do — asin ve ” do bi .[e sin W — M COS ox" | 0 Jo - An o o 2 vu Nien rs) — re [2 sin we ” — m cos we ” + m] ue 1 z | e do — [ ce ” du to) 24) tu)

p À te AC ne À irmat du — 1), Fer ti) L4 Lé Le L, ° C

Les génératrices du cône de révolution z —” 5 forment, avec

À ms ‘ son axe 0z, un angle}, tg y — L =". L'aire dA, comprise entre deux

génératrices infiniment voisines et un arc de courbe c, a pour pro-

. . 1 uni.

jection = p?do, donc dA = - à —— 2 SU HE." 17

D pe du da EH (e" — 1) [e)

2° La courbe c est donnée par les équations, où w est un paramètre variable :

ü) ü) [8] m m LR GC COS w, 4% = 4 Sin ©, bé ne

tu) , CO sin uw)

w x! — ae” M (ES — sin w), y = ae |

+ cos s), A

La tangente forme avec oz un angle y constant

[4 PE AR EEE gt "Vi + m° ü) w

à m1 —mÈ 26 , 1—m° .

MiemGep Re COS = SNL |, y en 7 sin w +? cosw m° m mè m

c + a? ns +- me} m?

x!? we y? + 22 —

20) 2 2 à Re an OU Li xx" y'y'- 27 ë Sea ns. m

Les cosinus directeurs de la normale principale sont proportionnels aux expressions :

D'OÉDIE T'ALS, UV DL om YILD is z'Ex'x" — 727? ou à œ x! — ma — ae" (sin w + m cos w) y! — my" — ae"(— cos w + m sin w)

z! — mz! — 0.

La normale principale est perpendiculaire à oz. La courbe est une hélice tracée sur le cylindre parallèle à oz,

dont la base est la spirale 9 — ae.

Les lignes géodésiques, qui forment le plus court chemin entre deux points d'une surface, sont caractérisées par la propriété que leur plan osculateur est normal à la surface, ou que la normale principale à la courbe coïncide avec la normale à la surface. La courbe c contient deux constantes arbitraires a et c, m étant supposé donné. On a une surface engendrée par ces courbes, en supposant a variable et c — w{a). On a alors :

vu) u)

— [cos à E dx — ae" ( SD w)do + e” cos wda nm

m [Sin w m dy ae ( + cos ) dw + e" sin wda

dz —e" (2 do + c‘da) m

dy, a(sin w + mcosw), sin w | — 0.

ue: “hs c

Les équations de la normale à cette surface sont :

X — x Y— y MT es à

(ac — c) sin w +- amc'cosw (c— ac’) cos & + amc'sinw —am

Elle ne peut pas coïncider avec la normale principale à la courbe c, qui est perpendiculaire à oz.

3° Si le point M, décrit la droite 2 = pX + q; c et a seront liés par la relation C — pa + q-

Si & est constant, le point (x, y, z) décrit la droite [Q)

COS W Sin w P

x ” y z—qge"

cette droite forme avec la tangente à la courbe un angle V, a + PC os VIE pve dar Emi se a (1 p°) + pq Vi + p? V(pa + q} + a(1 + m°)

cos V sr

cet angle est constant pour une courbe donnée, il varie avec a ou avec les différentes courbes qui engendrent la surface. La normale à la surface a pour équations

X — x Y— y ZL—2z

— 4 SIN & + apm COS & Q COS W + apm Sin — am Elle forme avec la normale principale à la courbe un angle, indépendant de w, dont le cosinus est — q + apr Vi + mt Vq? + (i + p'amt