En posant
T==T COS 0, VW rsiNn6, z = Ver Ôz 1 Ô?z — 1 FMC d Ô?z 02z s.
Fe Smet 2 3 5.5 EN Cr ES , Rosie Sn ares à N 0 Vor Ôr or Vor 0 orû à
D'après le problème précédent, l'équation différentielle des lignes
asymptotiques se réduit à
92 Ô CZ dr? + 7 rdb? — 0, ou dr? — 2r°%d6? — o dr? èr
dr . ba
= V2 di, Lr = +H0V2+ ec.
Les deux systèmes de lignes asymptotiques ont pour projections
les spirales logarithmiques :
/ Le r — ce)V2 et r—ce VV, NEO 1 Ô?z 6 d?z Ô?z D = — — 0 > = — —— —— a — : NO E De Li Ôxy Ôy?
L’équation différentielle des lignes asymptotiques est :
PA 2 CPU ET dn dy Crau da, 194 + xd J He En prenant le signe +, on a le premier système : 1 1 1 LT 1 M = — — —= —, im (+= Y ORNE AN ARS C(x — y) ces courbes sont l'intersection des deux surfaces du second ordre col 2% CV —%) =2x+7y
qui passent par l’axe oz. Ces cubiques peuvent se représenter par
les équations :
Fe inyent LENS EL AES nn su FR A: E— 1!
TM 0 TU? Ta Vds CONTRE
Le second système de lignes asymptotiques sera donné par
1 L mise qe et se déduit du premier en changeant x en — x. 163. On a DEL EN Te de: = F (2) 4 ’ 4 — #(2) EE) 2 (2) cdy — Jde q
car on suppose d’x — 0, d'y — o, si x et y sont variables indépendantes.
L'équation différentielle des lignes asymptotiques, dz —— o, se décompose ; ædy — .ydx — o donne y = cx, z = g(c); les génératrices rectilignes de la surface forment le premier système de lignes asymptotiques, ce que l’on pouvait prévoir. Le second système sera déterminé par la relation différentielle :
nf Y EN, «HN ER EE (a (2) (xdy — ydx) = 29 (2 }ruz #h
g’æœdy — ydx __, da ‘À a? CN x Ly(1) —,2Lx + Le
La courbe
Fes ar nE )
sera la projection d’une ligne asymptotique, si l’on à :
=" 007 a =T( à ROUE MAS N MAT (Gi +ËA)(i—ËR 2 \1 +6 {à — À)?
ca? 2 1 L ré ( | D + E —+ € ) LR ot À (
ca? 1 I OR a — RENE + 2 arc tg ) + c!
A K( 7 F + arc to *) + c'
où K et €” sont des constantes arbitraires.
164. La courbe mobile sera représentée, dans son plan, par l'équation z = c + f(p), où c est une fonction de l'angle w que forme ce plan avec le plan xoz. La surface peut ainsi être représentée par les trois équations :
(1) M 0. (080, yÿ = P sin w, z = f(e) + g(w)
où 9 el s sont deux paramètres variables. On en déduit :
du D) mue UE NC Je
P P° ,\ 2 FA 2 à ,\2 dx = f'(p) (= Le ar) + f'(e) (Æ S de (xdx . ydy) ) se RTE (= — eo PR rdy ydæ hier ne En posant d?z — o, on a l'équation différentielle des lignes
asymptotiques, ou l'équation qui détermine les deux directions asymptotiques en chaque point de la surface. Pour qu'en tout point de la surface l’une des directions asymptotiques soit dans le plan æ = c, dx — 0, il faut que le coefficient de dy? soit identiquement nul :
COS” COS? «w. siN © COS w
+ ge) DE — 291 (0) ES
cette relation doit être vérifiée pour toutes valeurs de w et 5. Si u) = 0, elle devient
f"{e) sin? ub + f'(2)
2179 PROBLÈMES D'ANALYSE MATHÉMATIQUE et l'on aura :
— a sin? w + a cos? t + p'{(w)cos? w — 2%/(w) sin w cos & — 0
Equation différentielle linéaire qui détermine '(w). Si on pose
+ 4 Med u es Toto ee devient :
U = — A COS 2w ii | , b dr Pin 20 te, plu) naiss
fe) = aLe, g(w) — aL cos w + b tg vw.
1l est inutile d'ajouter des constantes à f et w, si on choisit l'origine des coordonnées, sur oz.
Dee ele cdy — ydx ydx œ x?
Les lignes asymptotiques sont déterminées par les équations :
dx —0, T—=0€, et = de + 2b 0
œdy — yde 21 NS
ar robot œ
sur la surface (1), pour les sections z— c, on a:
mn de SN PRE AR ANNEES ap'(uw) + ypf(e) — y? (w) — xef'(e) 0
Pour une courbe orthogonale à ces sections, on a : (æg(w) + yef'(e))de + (y#(u) — ef/(e))dy = 0 6) = arc tg 2 est de degré zéro. Pour que cette équation soit homogène entre x et y, il faut que pf(p) soit constant
pf(p}==a, "Ouf (p) —tabp-Pc.
LIGNES ASYMPTOTIQUES. LIGNES DE COURBURE 273 On a alors l'équation différentielle
g'(w)pd> — as dw — 0
du Lo af
En particulier, pour la surface (2),
du : a cos? t COS 240 + 1
—= ; (ONE TE, LEP ns p b — a sin w cos w 20 — a sin 2w
Lo+2L(2b—a sin 20)— a AUTAN 2 Ft E2 ; 2 a sin 20—9b © atg CRT (1+ to? w)
er mie avai — 4h?) \gw—a tguw—$
où LORS ne ET sa rent aBe A ANT ERMUES a = A . to (0) ne © [e À Pol asin ami + 2:17 LT 1:29 + c:
\ Va? — 4h? tg &ù — $
SIG co H0 OA
: 1 . ae d'tg uw) Le + À Lab — a sin ao) = ac [te a ee ob tg w — a.
maybe gè 18 V4b? — a?
165. Le plan osculateur à la courbe y — x°, 2 = x", a pour équation :
BXx? — SYx + Z — x
il contient la droite D, Z = x°, Y = Xx.
Cette droite engendre la surface
y mal sur laquelle on a :
