Sur la surface S, on a

dy — Pdx — xd8 di — udr = (1 + uéw)de + œu'd8 = œu'.d8 — u'a(dy —— fdx} di = (u — Bu’ a)dæ + u'ady.

Le plan tangent a pour équalion :

(1) Z— (a — Bua)X — us Y — a.

Les équations de la normale sont : :

X —2x Y — fx

RE mr Ps ur 2°. et B étant les variables indépendantes, on peut mettre l'équation différentielle des lignes asymptotiques (problème 160) sous la forme :

5 Al A PR ‘| dæd(u — fu a) + dy due oh u' dade + (dy — fdx)du!l, —:0 d Le (u” da + u”,843) + æ dé(u”.gda + u” 9248) — 0 (e 4 dde — ue dé? — 0.

3° Le terme en dzd manquant dans cette équation, il en résulte que les courbes 4 — cet f5— c' sont conjuguées; ou que les directions du — 0, d5 — o sont conjuguées par rapport aux directions asymptotiques en tout point de la surface.

4° Si est constant, l'intersection du plan tangent (1) et du plan infiniment voisin s'obtient en formant la dérivée par rapport

u'e(EX — Ÿ) = 0.

Cette droite :

à DEA 0. ES Z—uX = a passe par le point D, PS ENT E EEE et engendre un cône ayant ce point pour sommet.

5° Si u — AB + 4B, + B, le plan tangent (1) a pour équation :

BB RANK DAY AR 6D NX E pY|— GTR ee 6 BE BAY Sval= 0,

Si 5 est constant, la droite caractéristique de ce plan mobile est déterminée par l'équation dérivée par rapport à & :

A'T(B — 8B')X B'Y] + (B, — BB)X + BAY Hi 0.

La droite définie par ces deux équations passe par un point fixe, et engendre un cône, dont le sommet est ce point donné par les 3 équations :