TL
en exprimant que l’une des directions asymptotiques vérifie cette relation, on a :
2 “2 f'(e7) + (= #7) fn) —= 0 ACTES os
JE Let on RE HOME TE 5 dE on LE SRReE 2n A + 1
fO=et MF, fO=amtiÈ Le,
En déplaçant l’origine sur oz, on peut supposer ©” = 0
Les lignes asymptotiques sont alors :
Les deux systèmes sont :
LT Z — C,ÿ”
170. Soit la surface z — F(x, y), l'équation différentielle des lignes asymptotiques
62F “In EF
= de +2 — dxdy + dy? = 0 ox OXY 0
doit admettre les solutions dy — 0, J\y)dz + af (y)dy —e.
Elle doit être équivalente à l'équation
JO) de dy + x f(ydy? — On aura donc :
Pat) + 4). UE ED + HO.
Pour que cette équation ait lieu quels que soient æ et y, …l faut que l'on ait :
PANNE AE op) D TON LE NU M A EU 6 = F7) = + b+ ee | GE + de 171. Sur la surface z — y sin æ, on a :
dz = y cos x dx + sin x dy dz — 2 cos x dr dy — y'sin x dri.
L'équation différentielle des lignes asymptotiques dæ(2 cos æ dy — y sin & dx) — 0
donne les génératrices æ — c, z — y sin €, et les courbes y déduites des équations :
NUS dx, Y COS æ 2Ly — — L cos x + Le VACDS Ti 0; 2 SI
au point x — 0, y — + Ye, z — 0, la tangente est perpendiculaire à O0Y.
2° Sur cette courbe ‘/, on a :
dy —— A dx
| AA 2 Sin ZT 1 + COS“ dz = y{ cos x + ———" |de = y ——— à AUCOS Es ATCOSEL 1 RON 2 à dz
2COSX YSINX y{1 + cos? x)
Une courbe, tracée sur la surface, sera une trajectoire orthogonale des courbes /, si l'on a :
2 cos æ dæ + y sin & dy + y(1 + cos? x)dz = 0.
et. comme dz — sin x dy + y cos x dx
(2 + y? + y? cos? x) cos x dx + (2 + cos? x) y sin x dy = 0.
Si on considère y? comme la fonction inconnue, c'est une équation linéaire entre y? et sa dérivée ; on est ainsi conduit à intégrer d'abord l'équation homogène
ANUS Sin COST ( sin æ à (\SCOS ALU VAT USE sante sine Li AS sin Sin TE 3
dont l'intégrale est
Din Et Sin x) =
de sorte que, si l’on pose :
Yi 8 x(3 — sin? x) 7
L'équation précédente se réduit à :
3 Tù
du = —4sin*x(3— sin?x) * cos x dx
En prenant pour variable sin° +, c’est une différentielle binome,
ce qui conduit à l'écrire :
9 3 COS du = — 4 È —— | ses x.
sin? © sin æ or PR axes 3 Posons sec == 0 6 dv 2 1 #01 3 du = ——, = -t- + + - dy + uv 70 HT Lee ve
u — 2L(i + v) — L(r PP) HAVE are ec
Les trajectoires orthogonales ont pour projection les courbes ee, I (r + uv) r& 2U — 1 JeRD Te L'=———5> + 2y3 arc LR En AE
v — \/2 + 3 cotg? x.
3° La courbe ‘y qui passe par le point M, & — z — 0, y — a, a
pour équations :
a a sin æ M pre = —— cos x cos x sur cette courbe, on a :
! a sin æ ; 1 + cos? x de ZA —— 2 cos æ cos æ 2 cos æ cos x . 2 + sin . 2 sin x .
Hd ©, 2—=a re sin x.
h cos? x cos x 4 cos? æ ÿcos x
Le plan normal a pour équation :
2X cos x ÿcos x + aŸ sin x + aZ(1 + cos? x) —
RG SRE 2 cos" ue.
— 2x cos xVcos & —- a? RUE sin x y cos æ au point M, le plan normal est :
L'intersechion avec le plan normal infiniment voisin s'obtient en prenant la dérivée par rapport à x, qui, pour æ = 0, se réduit à
aY = 3 + 3a?.
202 PROBLÈMES D'ANALYSE MATHÉMATIQUE La droite polaire À au point M a pour équations : 2 / Ad PET X — — az.
Au point M, on a :
(y me. ons, = a y —0, ER PS
Le plan osculateur en M a pour équation :
ne A Fe ; a : f :
Hird, 00 0: 7 0x Z, a, 0
La droite polaire coupe ce plan osculateur au centre de cour- ‘bure :
EEE 0, Y= 3a +” -0y est la normale principale, / I eh (a Pt =):
a 4° Si a augmente de o à 1, R diminue de © à R— #4. Si a augmente de 1 à + æ, R augmente indéfiniment. Si on change a
en — 4, R prend la même valeur absolue. 5° Si a varie, la droite A engendre la surface
Si on considère y comme fonction de x et z, supposées variables indépendantes, on a :
dy = (ædz — ae) ($ — a)
dy = (xdz — dx) (LS — A
L'équation différentielle des lignes asymptotiques
hdx
x? z° donne les génératrices rectilignes :
