Des équations données on déduit
de — 3(1 + v? — u*)du + Guvdv dy = Guvdu + 3(1 + u? — v?)du dz = 6(udu — vdv) |
audr — 2vdy — (1 — u? — v°dz.
La normale à la surface a pour équations X—x Y—y Z—:
QU —20 HT Si a, b, c sont les dénominateurs, l'équation différentielle des lignes de courbure peut se mettre sous la forme : ŒNOY, MU 0 2 T0 ct EE da, db, de (14 v—u)du + auvdv, ouvdu+(1+u?—v?)du, oudu— avdv | 2u — 2V uv? — 1 EUR da — dv udu+-vdv
ES D: 2 + Fr
qui se réduit à
— 9{1 + u? + v°)dudo = 0.
La ligne de courbure u = c est dans le plan
æ + cz — 3c + 20° parallèle à oy si on pose € — {g %, ses équations peuvent s'écrire æ COS à + z Sin 4 — 3 sin à + 2 sin x tg? &
CSI L —— 2 C0S-4 — — sin z ty a
= à OR T UT CINE
et, en faisant tourner les axes de l'angle & +- : autour de OY,ona
d'équation de la cubique, dans son plan :
CORAN : s : à te (ee | (X + sin x (ga) (x + sin a tg* « — ét :
COS” 4 La ligne de courbure v = c est une cubique dans le plan
y — vz — 3v + ov° parallèle à OX.
187. Sur la surface z — x*y, on a ; dz — oxydx + x°dy, dz — 2ydx? + 4xdxdy.
L'équation différentielle des lignes asymptotiques est : dx(ydæ +- 2xdy) = 0.
Les lignes asymptotiques sont les génératrices & = €, 2 — c*y, et les courbes :
trie 0 RM A à
qui sont des courbes unicursales du quatrième ordre, situées sur des paraboloïdes yz = cæ.
2° Le plan tangent au point (a, b, c) a pour équation :
z — 2abx — ay + 24°b — 0.
La projection de l'intersection sur le plan xoy
(x? — a?)y + 2ab{a — x) = 0
Fagry. — Anal. 20
se décompose, l'intersection est formée de la droite
et de l'hyÿperbole dont la projection est (x + a)y — 2ab, que l’on peut représenter par les équations :
En considérant æ et z comme des fonctions de y, on a :
2ab ab?
T—= — p * WE à Z = da Lee , Aab ; Ga? 0?
De hr Ale Je Haras ST CEA Y 3 ik 1202 3b æ'y" cs dan — RTS Vie" = z' 7 eee Ba”b° z'x" ASS x/z" —— (LE TE De APRES.
1* ! 1 Si on représente la courbure par pe Ona :
Fi) Aa?b? b?\ 2 (: + mere V aë(à ve vi) as À 4 s 5 à
ni VAS ER os La Mot EN ONE y’: AE E(æ y — ya") () (1 + 4@b? + a!) A fab! RAT re Ur ou O1 + 4a°b? +.at | Aa°b? J à De À 3°:0n'a:
D EY, er
L'équation différentielle des lignes de courbure est : de + pd: __ dy + qdz dp dq (dx + 2xydz)xdzx = (dy + «°?dz) (xdy + ydx) ada® — ydxdy--xdy? = 2?{(xdy — ydx)dz— 2 (xdy —-ydx) (aydxe + xdy)} a(1 + 22°? )de? — y(i + x')dxdy — (1 + xt)dy? = 0
dz = oxydx + x°dy.
En un point (x, 0, o) de la génératrice y — 0, z = 0, les directions principales sont déterminées par les rebours
de = (1 + at), de = dy
LIGNES ASYMPIOTIQUES, LIGNES DE COURBURE 307 Les cosinus directeurs sont proportionnels à dæ, dy, dz.
a FT oil I
MVL at Fe D 'EN Var at)
Les cosinus directeurs des deux directions principales sont :
ac V2(1 Het) Volt + æ*) — I I Em NE ; Vo(r + x!) | Val + xt)
188. Un point de la droite A qui joint Jes points A(u, 2v, o), B(— u, o, 2w) de D'et D, a pour coordonnées :
C— u — oui PEAU — out EE à 14
À et B correspondent aux valeurs { = 0, et { — 1, du paramètre: 1° Ce point est sur la surface si l'on a :
ur — 21) + Gui — ot) (1 — 6) + uoŸ(r — ot) + Au — u?(i — 1}? — u(n — 20) = 0 hi — t){ au°t — ov°(1 — !) — uw (1 — 2t)| ET La droite À coupe la surface aux points À et B, {— oet1r,et en un autre point C :
cn u? —--ov a(u? + v? + wè) wè —-v? uÀ ou u? + av?
pur pur Tu pupu TU tu tu
2° Les cosinus directeurs de la normale sont proportionnels à 32? + y +2 —uù, 2y(x — u), az(x + u).
Au point G on a :
LACET SRE EE a Ci —v°}2-put(ut + aw?)+uw(u? + av) n° (éè + v? + w°)° (u? + av?) (u? + aw?) (— u? + v° + w°) (u? + v? + w°)?
— ouv(u* + ow?) (u? + av?) (u° A v be w?)?
euv(u? + av?) (u? + 2w°)
Les cosinus directeurs de la normale au point C sont :
v? —- ww? — u° — Qu auw ie Tests ot ES qi 50 Se Se u® —+- v° + w° u? + v? + w? uv vw
Les points de la section par le plan DA s'obtiennent en supposant w constant, et v seul variable, on a alors des droites À passant
par le point fixe B.
Le plan BD a pour équation
(x — u)w + uz = 0, la normale à ce plan, dont les cosinus directeurs sont
w u EE 0 ER Te
= 3 D > Vu? + w? Vu? + w?
forme, avec la normale à la surface, un angle V dont le cosinus est :
cos V — -—" .
Vu? + w?
Cet angle est constant pour tout point de la section, il ne dépend pas de la variable v.
3° Il en résulte que les sections par des plans passant par la ‘droite D sont des lignes de courbure de la surface.
Le même résultat s'applique à la droite D,, car les formules ne changent pas si on permutte v et w, y et z, en changeant uen —u. Le plan AD, à pour équation (x + u)v — uy — 0, sa normale, dont les cosinus directeurs sont
V EU Vu? + uv? Vu? + v?
ATX
forme avec la normale à la surface un angle dont le cosinus est Vu? “+ v?
si v est constant, la section par le plan AD, est une ligne de courbure.
4° Supposons w constant. Des expressions de x, y, z on déduit
(æ — u}w + uz —0, plan BD,
et :
Re 8 ee (ut — 2}? + v(u? — out)? + w(u? + ov?)? y An Qu Hu + DORE =
W(u? + fu?) + uw?
De cette expression et de celles de x et z, on déduit, en éliminant v :
a? + y? + 2 —= 2wz — ux
sphère qui coupe le plan suivant un cercle.
En permuttant y et z, on a, pour les sections par les plans pas-
sant par D;, les cercles :
(x + u)v — uy — 0 D? + y? + 2? — 2vy + ux.
189. Lorsque v est constant, le point M'(x, y, z) décrit une courbe; pour u — 0, on aura #(0, v) — o pour que la courbe passe par A(r, 0, 0). On a :
U nr UE ox du.
Les cosinus directeurs de la tangente sont :
TT nt. cos u Ou DE nr p BEF SERRE , RES ETRRE ses NE 12 n/2 Vi + Lu VI Pr VT Te
Le point M a pour coordonnées :
X = r cos u — l—s V1 nr
Ve dsine ue (l—s) V1 sa 7 PR
ep!
ZL=re(u,v)+ "© (1 — 5).
Si u varie seal, ce point décrit la courbe D, si u et v sont variables, il engendre la surface 5,
1° La courbe G est une hélice, passant par A, si 9 — u/f(v); en choisissant la variable v, ce qui ne change pas les surfaces engen-
drées, on peut supposer e(u, v) = uv.
On a alors :
s— rfi + Vu
en choisissant u, — 0; ct :
AI==TACOS Ut SIN ee EU
Vi + v?
Ÿ l \ YŸ — rsin u + cos u ee FU V1 + v? ) 1 mo AE) Va + v?
Si uet v sont variables, on aura, sur cette surface :
dX — (E — ) cos udu +- ie d V1 Le u”, (a Le v?)?
dY = HU ——- Ares sin udu — je Pi 4 dv VITE (1 +)?
dZ — Hu dv (1 + v°)?
— sin uëX + cos udYŸ -+ :vdZ, —:0.
Ce qui montre que le plan tangent est perpendiculaire à la droite MM’, dont les cosinus directeurs sont proportionnels à — sin u, cos u,v. L'équation différentielle des lignes de courbure est :
#2 sintn 2 "cos lu MAX COS u — sin udu dY | — 0.
v dv dZ
En remplaçant dX, d\, dZpar leurs valeurs, al est facile de voir que les termes du? et dv* disparaissent, et que l'équation se réduit à dudv — o. Les lignes.de courbure w — C sont des développantes du cercle de rayon r, dans des plans parallèles au plan x0y; cesont des courbes égales, qui coupent le plan x — r (pour u — 0) au point
x LOTIR AR à
/ Vi + v*
ces courbes s’appuyent ainsi sur le cercle Y? +22 =, Siu = G, on à : | (X — r cos u — ru sin u)? + (Ÿ — r sin u -- ru cos u)? +- Z? — l Ysinu+ Xcosu—=r.
Ces lignes de courbure sont des circonférences de rayon / constant, dans les plans tangents au cylindre. Le centre du cercle
X = r(cos u + u sin u), Y = r(sin u — u cos u), L==0
décrit la développante du cercle de base du cylindre, qui passe par le point À,u — 0 (r, 0, 0).
2° La courbe C est une développée de la courbe D. Toute courbe D a une infinité de développées, que l'on peut former en menant dans le plan normal une droite formant avec la tangente MM à l'une des développées un angle constant. Si cette droite est normale à la surface lieu de D, comme elle engendrera une surface développable, D sera une ligne de courbure. Inversement si D est une ligne de courbure, les normales aux points M de D engendrent une surface développable, et sont tangentes à une courbe qui est une développée de D. Il faut donc qu’elles forment avec la droite MM, tangente à la développée C de D, un angle constant. Cet angle, qui est fixe pour chaque courbe D, peut varier avec la courbe D.
dx — a(du + dv), dy = b(du — dv), dz — c(udv +- vdu)
dæ, a, a dy, b, —b|—% 7 EURE cu
be(u + v)dxe + ac(v — u)dy — 2abdz — 0 les cosinus directeurs de la normale sont proportionnels à befu + v), ac(u —u), — 2ab, L'équation différentielle des lignes de courbure est :
beiu +-v), bc(du + dv), dx ac(v — u), ac(dv — du). dy |—=o — 24b, 0, dz
adx(dv — du) — bdy(du + dv) + edz(udv — vdu) — 0
pra PROBLÈMES D ANALYSE MATHÉMATIQUE
et, en remplaçant dx, dy, dz en fonction de du et dv :
(a? + D?) (dv? — du?) + c’(u?dv? — v’du?) — o (1 + u?)dv? — (1 + v’)du?
dv du L(v + Vr +) = L(uÆ Vi Fu) + LK vu + Vi Hu = K(u + 1 + ui) (ou — Ku} = 1 + uv? + K?(1 + u) Æ 2K Vi n° Vi + v? (1 + K? + oKuv} — 4K°?(1 + u° + v° + u’v°) (tr — KR?) + 4K1 + K?juu — 4K(u? + v°) — 0
el, comme au — © ++ ov— = —Ÿ ME Font METRE (1 — K?} + Ki + K?) (ET) — ok (F ++ AR ie
= l ou, en posant K + = À
ba 4h07
Système d'hyperboles. Car si — 2 x < 2 ce sont des ellipses imaginaires. Il faut donc supposer 2? > 4. Par tout point du plan passent deux hyperboles, si x et y sont donnés, on a pour À deux valeurs comprises, l'une entre — © et — 2, l'autre entre 2 et +.
Les deux systèmes de lignes de courbure correspondent aux valeurs
sl i0,
positives et négatives de À.
