D | QS

(1 + nu? + v°}2,

Si v est constant, on a des équations analogues, que l’on peut obtenir en permuttant uw et v, et en changeant { en — t, de sorte que le rayon de courbure a la même valeur, mais une direction opposée.

18. La surface enveloppe s'obtient en prenant les dérivées par rapport à Ÿ et ©. On aura les trois équations

x cos 0 cos © + y cos 0 sin © + z sin 6 — f (0) — æ sin 0 cos ? — y sin 0 sin ® + 2 cos Ü — f'(8) cos 0(y cos ? — x sin &) — 0.

Le point de contact du plan (9, &) avec son enveloppe a pour coordonnées :

æ —(f(0) cos 0 — f'(0) sin 0) cos »

y —=(f(0) cos 0 — f'(0) sin 0) sin 2 = f(8) sin 0 + f'(8) cos 0

ces équations, où ÿ et o sont variables, représentent la surface enveloppe. La normale a pour équations :

X—x "Y—Y7y L — 7 cos Ü cos © cos 6 sin © sin0

Elle forme avec le plan x0oy un angle égal à 5. Si 0 est constant, z est aussi constant ; les normales aux points de cette section formant un angle constant avec son plan, c'est une ligne de courbure (problème 178).

Si © est constant, on à une courbe siluée dans le plan

æ SIN © — y COS ? — 0.

lignes de courbure.

La surface est une surface de révolution autour de 07, car

Va? + y? — f(0) cos 0 — f'(8) sin 0 est une fonction de z. La méridienne, dans le plan y = 0, est l'enveloppe des droites æ cos 0 + z sin 0 — f(0).

lèles 6 — c.