Pour toute courbe tracée sur la surface, on à

(1) dx—cosôdr —rsin6d6, dy—sin0dr + r cos 6db, z = f'(6)d8

cos Üdy — sin Üdr D — 0) © — .

de = ÿ(0) Les lignes de courbure sont déterminées par les relations : sin Ü cos 0 p=— "pe, 9%

dx + pdz — cos Odr — (r + = J'(®) ?) sin 0d8 dy + qds = sin Odr + (r + > f'(0)?) cos 640.

L'équation différentielle des lignes de courbure : dx + pdz __ dy + qdz PANNE (Le devient :

(cos8dr Dar AO ee (0) cosûdr+-r( f"(8)cos0—f'(6) sin 0)d0 — PU sin 0d0){— f'(0) eos ddr-r( f'(0) cos 0 —"(0)sin0)d0) = 2+f'(0)2 | | — (sin 6dr + nr cos6d8)[ f'(0)sin dr — r{ f'(0) sin 0+-f"(0) cos 0)d8! (a) — f'(0)dr? + rf"(6)drd0 + f'(6)(r? + f'(8))d0? — o. Sur une génératrice M 6; A0:-0; dx — cos 6dr, dy = sin dr, LU 0) Une courbe, dont la tangente est définie par les équations (1), forme avec la génératrice, au point (r, 9), un angle & donné par la

relation F cos Üdæ + sin Üdy dr

VE dé + di Var rdi fu d8

cos «

Si une ligne de courbure forme en ce point l'angle & avec la génératrice, on a l'équation (2) et

dr\?2 9 2 1/n\2 di) tar? + f'(0). PARUS dr :

En éliminant dr 00 obtient :

rte JO) — (rt + SUEDE) (lg à — 18

4f'(8)* cos? 2a

°2 — L AJ NO" sin 2x 41 (0 con as Si : af'(6) 4a* sin* 8 0) — ; es de D EE 7 f(6) —acos6, a gr 3/0) — 4f (0) 3 cos? 0 — 7 sin? 6

c’est l'équation de la projection en coordonnées polaires : 2a sin? 0 6 cos? 0 -— sin? 0

re r! — 2a sin 0 cos 9 “he V3 cos 0 — 4 sin 0 s (3 cos? 0 — 4 sin? 0)?

: : , 3 cr Il suflit de faire varier Ÿ de o à &, tg 4 V3, car, de œ à—,rest 2 ” 2

imaginaire, et la courbe est symétrique par rapport aux axes. La

droite y — — x est une asymptote.