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Les surfaces intégrales sont z — x/f{xy), obtenues en posant b — f{a), où f est une fonction arbitraire.

Pour exprimer qu'une courbe caractéristique rencontre la courbe donnée, 1l faut éliminer æ, y, z entre les équations (1) et les équations & — y, z — «x de cette courbe. Ona alors : &? = a, x°= b, et a — b. Donc, si /(a) — a — b, la surface, lieu des caractéristiques (1), passe par la courbe donnée. On a la surface :

Les lignes asymptotiques de cette surface sont déterminées par l'équation différentielle :

2 F ? ù DR STE dx? + 2 ue dx dy + Se EI 2ydx® + 4xdxdy — 0, de (Te ce 2) — 0

qui se décompose et donne les deux solutions :

DMIERS Le + 2Ly == Le’.

Le premier système de lignes asymptotiques est composé des

droites TS, 2 — c*y.

Le second système est formé des courbes

208. Les équations différentielles des courbes caractéristiques

sont :

URL EAU 2Y 3x? — Gx?y

qui donnent :

LE y Va, z + y? —= bd

l'intégrale générale s'obtient en posant b — f{a), ou : Anne dE LC Home A

Une courbe caractéristique passe par le point &æ — 0, y — 1/22,

étant arbitraire, si a — — 2z, b — 3z. Cette caractéristique ren- 4 34 AR À ; contre la parabole si b — — ce qui détermine la surface, lieu

des caractéristiques qui rencontrent la parabole : 2 Durs ANNEE ENT

ou

L'équation différentielle des lignes asymptotiques de cette

surface est :

Ô?z Ô?z 0?z 2 «= dr +2. dedy + >= dy? — 0 65 0TY OV“ v — grdx* + dy? = 0, dy = E 3Vxdx

VTT Vic Les lignes asymptotiques sont les intersections de la surface

et des cylindres paraboliques 8z == y? + Gcy — 3c°.

Par tout point de la surface passent deux de ces courbes.

209. Les équations différentielles des caractéristiques sont :

A Li a oo EL CN EM CE G+) =jÿÿ+ 0

comme z peut être supposé constant, puisque z — à est une intéorale, on a :

Lie + 2) = L(y + 2) — Ly + Lb Ye + 2) = by + 2).

L'intégrale générale est

(x +2) = (7 +2) fc).

Une courbe caractéristique rencontre la parabole x = 1, y — 2

si l’on a, en même temps :

1 + 2 ce

Z = 4, Hey NE (A Y+z a+ a

ce qui donne f{z) — z, et l'intégrale

TYI=Z= 7°, ou

AP Væy.

210. Les équations différentielles des courbes caractéristiques

sont :

dx dy dz

SES REZ n Sin < 1, les courbes caractéristiques ont pour équations .

tin AIRE No — a, giTn Lee EN xi—n = b.

L'intégrale générale est gen = ie fiat — Jin) où f est une fonction arbitraire.

Pour qu'une courbe caractéristique rencontre la droite z — 1, æ — y\/2 , il faut que l'on ait, en même temps : NM]

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