L° XL

tte er ne à miditnns de

L'équation différentielle des lignes asymptotiques, d?z — o, se décompose, le premier système est formé des génératrices rectilignes

PASSE Eh z —= ac + xf(c).

Le second système, en posant y — 4x, sera représenté par l'équation :

ous |

ë 1 + 4 Si /(1) = —3—, on a, pour la surface Z :

ri nine, Y? — cx? + 2ax — 0 coniques dont l’origine est un sommet.

5° Le cercle osculateur en o a son centre sur ox. Le cercle ÿ? + x? + 2bx — 0 coupe la conique en deux points confondus en o, et deux points r . , . 2(a Cr TA b: ° symétriques d’abscisse x — ——-—. Ces points tendent vers 0, lorsque b — a. Le cercle osculateur a pour équation

il a avec la courbe un contact du troisième ordre. Ces coniques sont osculatrices à un cercle fixe, en leur sommet o. 231. Les équations différentielles des caractéristiques sont :

de dy de dp

et AE 1 HOME 1 Si on prend l'intégrale p — q — 24, on aura :

pq} = (p— 9} + 4pq = ka + Ex + y) p—a+ va Ezx-+7y, qQ=—a+vVèe +x+y on peut en déduire une intégrale complète :

di = pde + qdy = ad(x — y) + Va + x +7 dx + y) ae —y)+ ia +z+y+e.

La solution générale s'obtient en posant c — f(a), et en cherchant l'enveloppe de ces surfaces

2 = af — y) + & (at + æ + y)5 + f(a) x — y + 24 Ya? + x + y + f'(a) = 0.

Pour que cette surface passe par l'origine, il faut que l’on ait, en même temps :

(a) et w'(a) étant nuls pour une même valeur de a, c’est-à-dire que l'équation o(a) — o doit avoir une racine double, qui correspond à l'origine.

On peut également intégrer les équations des caractéristiques, et mettre ces intégrales sous la forme :

3 (az — b) + €

CAE

P — q = 24, DL Q == z — Âax +

On peut chercher la surface passant par une courbe donnée, qui passe par l'origine ; on exprimera les coordonnées d’un point de la courbe, æ, y, z, en foncüion d'un paramètre {, om exprimera que la caractéristique rencontre cette courbe, et que l’om a

2 = pr’ i- qy' ou 2 — 247 + Et + y) V2T — b

ce qui donne trois équations entre a, b, cet {. L'élimination de t donne deux équations entre a, b, c, qui définissent les caractéristiques qui doivent engendrer la surface intégrale. 232. Les équations différentielles des caractéristiques sont : de __ dy d dp. dq Ÿ "4h 1 APG ET AREE on en déduit :

VE y? =p? —b xy? = pq? = (a? — a) (y? -+ bh ay? — bx°? + ab — 0 ay® — b(x? — æ) —= bq?.

On peut alors poser :

VUE D cr et Îz = 300 CEA L IE EE CARRE

Les équations des caractéristiques sont :

Ve ct: Et À Y— Cr? — 9, Lex +18.

Ces courbes rencontrent l'hyperbole

LT —= 1, PNR le GP si l’on a

ce qui donne, entre les trois constantes c, &, B, la relation a + 1 — R? + 908.

Mais il faut, en outre, qu'en chaque point de l'hyberbole, la tangente, qui se déduit des relations ed À

z YO

soit dans le plan tangent à la surface, déduit de l'équation d = pdx + qdy, ce qui donne : | Y = Q7 et Pie Core CIE donc

Les caractéristiques z — cr?, ÿ? — Cr +i1—=Oo

engendrent la surface intégrale

2 ar + ÿ°) ou 2 œ ÿr + y,

qui, pour æ — 1, donne

233. Les équations différentielles des caractéristiques sont :

A NAN AE dz CO AU me SE ri, CAR en Da QE D 480. 10 (2%;

qui donnent :

= (27 + qe — b, q VA 22 = PT — qÿ — 4°.

Douriri= L QN 2 A — ge b—:2ÿ5 + os C— Po — 2% + 4o)Ÿo + Gé

Les caractéristiques sont représentées par les équations :

(27 + Ge )e = 2Y6 + 22 (229 + Qe)o + QE — JE Y — T°.

En posant Yo 8 2 = f(L), do = J'(),

on a une courbe qui engendre une surface intégrale.

On peut également former une intégrale complète en prenant les relations :

J= ur, D ax?y + ax 27 À re k dz == L + ay + aa’ dx +- ax*dy

xdz — 2zdx

3 — a(yde + dy) + a x°dx

En posant b — f{a), une surface intégrale, enveloppe de ces surfaces, est donnée par les équations :