SERIES ONE ES NE RTE
= a (a) — af'{a)) — La
où a est un paramètre variable.
234. Les équations différentielles des caractéristiques sont :
(L'URL dz dp __ dq PT VOD TTL PAR E ou dp dq dz ph UE)
On peut mettre les intégrales sous la forme p =2 cos a, (traine. æ —= (b + Lz) cos a y —=(c+ Lz)sin a.
En prenant les intégrales p = z cos a, 4 — z sin a, qui vérifient Ë Ô P » , l'équation p? + qg° — 2°, on aura une intégrale complète :
dz
Pret ce a dæ + sin a dy Lz — x cos a + y sin a + b on en déduit la solution générale :
Lz — x cos { + y sin { + f{t) æ sin é — y cos t — f'(t).
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES 377 On peut aussi déduire la solution générale des courbes caractéristiques ; en prenant la valeur initiale # — 0, on aura
q 2 b— — Lz,, sin a — D, C—= yo © — Lz,.
Zo Jo
En fonction des trois constantes y,, Z, gv, les courbes caractéristiques ont pour équalions
En posant Yo —=b =), Qo = %(1);
les surfaces intégrales seront définies par les équations
o(4) ) où est une fonction arbitraire 235. Ona Su À Pa 0B Sa 3 OyÔzT dx 020x0y dy? Cxôyoz Ôz ,
S1 la fonction u existe, on doit avoir identiquement :
Si ces conditions sont remplies, en considérant y et z comme
constants, S- est une fonction de x dont la dérivée est B, èu r = Je Bdx + f(y, 2).
du
La dérivée de &- par rapport à y doit être égale à À :
y) D de + fl= [de fi =A (y) — Alone) +f Top T
fi (Y> 27) = Alf, y, 2), nf(r, 2) — J A, y, 2)dy + (7)
Yo
n TT 34 ôu [ Bdx + 1 Aro. Y, 2)dy + (2) v Yo
To
où w'(z) est une fonction arbitraire. En considérant z comme seul variable, on en déduit :
= def. Be & [OA Gros y 2)dy + (+ Ve, »).
En prenant la dérivée par rapport à x, on a :
ie Bdz + VC, y)
sa dérivée par rapport à y doit être égale à C
SN
c= | purrs= de + pa, = C— C7, 3) + 4;
La]
TY ÔZ ° Ty
LA (e 7) = C(x, y, 20)
Me n= [de [7 Ce y. sd + fic) + 0.
To Jo Il existe donc une fonction u(xæ, y, z) à laquelle on peut ajouter
fie) + 0) + 6), ces trois fonctions étant arbitraires.
On peut ainsi choisir arbitrairement la fonction de z, u(xo, Y,» 2) pour les valeurs initiales de x et y, et de même les fonctions analogues de x et y
u(æ, Jos Z0) = Fifz), ut 7, 20) = Fr), u(tor Yo 2) = (2)
ces trois fonctions étant telles que Fit) = Five) = F;(20)-
En particulier, si l’on a :
x? °3 ou ; | è?u
PNEU. Nes DE SRE Syèz : ÿ5 7 A à Cœèy J
on en déduit :
ad gs — [ (2? + x°)dx + (y? + 2?)dy + v'(2) =
a + y ET Le + 7) + y n° se y° Pl
243 (ep) + e(2) + Ve 7)
et
ST Mt:
EE + fie) + f,0) EL RE ETES f(n) + fi(y) + fat) que l'on peut mettre sous la forme
D AE m0 Un le = (a + + 28) + Qi(x) + PA() + Ea(2) 236. Si on considère u, ainsi que æ et y, comme des fonctions de z et 9, considérés comme variables indépendantes, on a : dx — e“{cos 0 dz — sin 0 dû) dy — e“(sin ( dz + cos 6 dû) dx — e“(cos 0 dz? — 2 sin 0 d8 dz — cos 0 d&?) dy — e“(sin 0 dz? + 2 cos 0 d0 dz — sin 0 d6?)
du
ou
RE — de + di Ho] OV
le
du o?u o?u du ou Dir —— NS SA STE rs sa 14: | Aa RER 2 du= ss - Da Ph HR AE
D'autre part :
ô2 62 te
ou ‘ o°u ou 402 du — dr + 2 — didd + ap}.
Ôz DEA 0 0
En remplaçant dx, dy, dx, d'y par leurs valeurs, et en écrivant que, dans les expressions de d'u, les coellicients de dz?, dzdÿ et df? sont identiques, on a les relations :
2 Su o?u ?u RS e?z ç—5 COS? 0, + Fe sin 0 cos 0 the ; Sin? 0 C2? 0x? Ît ôy°
{ôu ou .
+ e%| — cos Ü + -— sin 6 0 ÔY
d?u d2u . OBIT ô2u .
sn = 6% — sin 0 cos 0 + =— cos 29 + —, sin 0 cos 6) + 0x Ôxy dy du ôu + e(— +<- sin 0 cos o) ÔX Ôy
d?u d?u HN PU, ras — e5| «= sin? 0 — 2 &— sin 0 cos 0 + &— cos* 0 ) + Û dx? Ôxy Ôy |
/ûu LA — e4.— cos Ô +- — sin Lee de CY
on en déduit :
de sorte que l'équation ; Sa
Si
ie o conserve la même forme :
u = f(& + yi) + p(x — yi)
fet o étant des fonctions condes, on en déduit :
èu en M o2u RER SV Ph Ô2u o2u
l'équation 322 + pe
On aura
æ + yi e(cos 0 + 1 sin 0)
tx —yi—e
J(æ + yi)
analytiques, qui ont des dérivées se-
ou
dr EE
= MP = fr
CMOS a 4 — o est vériliée.
Fu Gi x — (; e? Ur
(cos Ô — 1 sin 0)
— fle Fi) sera une fonction arbitraire de z + &, et
o(æ — yi) devient une fonction arbitraire de z — ÿi.
JATACHTEES
LE pe tre) 1 (e) LE po + C2)
