On a les relations

pu +) + pe) + PQ) = (ES)

p'°(u) = 4p°(u) — g:pu) — 93.

FONCTIONS ELLIPTIQUES Â55-

Si u tend vers v, le rapport p'(u) — p'(v) | p(u) — p{v) a pour limite p'(u) __ pp" 12p(u)— ge,

p(u) p? 2p'(u) On a alors :

(3p° G— ge) (1) pau) — AT 2p(u) Es Apu) — g2plu ) — 93 Te AP) + > PHu)ge + (E) + 2p(u)gs (» Cu) + æ) + 294p(u) A A LS AREA TL Lu Lai FES (u) — gp) — 9: Ap°(u) — gp) — 9; 2° SI

pa, pft) 4

est donné par l'équation du quatrième degré

(1) a+2i—= AL se (2) Le — ha + a + (age + 293)t + 493 + () = 0. La tangente à la cubique ep, y=pPU, = —ge— gs a pour équation :

p'(u) AN D CU) ve DA LE pUu) p'(u)

Y — p'(u) — (X ns p(u)) CIRE S

Supposons que cette tangente coupe la cubique en un point X=p{u),, Y=pt)

on aura tn — % po) — plu) PU, p(v) — Le om p'(u) (ap?) pra 2)

PRE 570) AG) PO) an)

Cette équation est vérifiée si v — u et aussi si v — — 2u, car p(u) est une fonction paire, p(— u) — p{u). D'autre part p(u) a deux périodes

plu + 2%) = plu + 20) = p(n).

. u S1 on remplace u par >, v par — u, en posant

on retrouve l'équation (2). Si par le point u de la cubique on mène des tangentes, les points de contact de ces tangentes sont les points

u +- 2Kw + 9K/w ARE Matte PL mb RE à

DIE Le c'est-à-dire les 4 points u np Bu RAR AL 2 ; 91 < 2 - 2 ‘

les abscisses sont les 4 racines { — HÉ — Ko — Kw) de l’équation (2).

2 à re :

3° 20 et — sont réels lorsque l'équation

BP IP AUTO a ses racines réelles, 2 3 27 93 — 93 < 0.

Soient e,, e, ete, ces racines

(OT PE SEC TES ei + ee + 6e = 0.

On peut définir la fonction p{u) par l'intégrale

= dx af dx æ VA? reel SET æ 2V(x os ei) œ— e2) (x — e;)

æ = pu). Les périodes sont :

ef e, V(æ--e,Xx—e)(x—e:) e V(ei—x\x—e)(x —e;)

Lorsque x est compris entre e, et æ , uest réel et varie de « à o.

FONCTIONS ELLIPTIQUES

Pie Are e

= ü DT Re nn. I “+ [7 SEL a a A æ 2V(a—e;)(r—e2)(x—e;) el 2(aæ—e,)(x—e)(x—e;) u — west réel et varie de o à ©.

Inversement, lorsque u varie de o à w, p(u) reste réel et varie de o à &, p'(u) varie en même temps de 0 à o. Si u — «' prend des valeurs réelles, de o à w, p(u) reste réel, et varie de e, à e,. La courbe

J=P@u), æ—=p(u) comprend une partie fermée pour e, < x << e: et une branche infinie pour e, < æ << , elle est symétrique par rapport à ox. Si a — plu), par le point u on peut mener 4 tangentes dont les points de contact sont

2 ” ae + Kw + K'w’, Si u est réel, ou < 0, e Lx Lo, aux 4 valeurs

u u ul - u :

Er RE Geo EN Un: ÉCRIRE 2 2 2

correspondent 4 points de contact réels, et A valeurs réelles de

U - Lt — Pts) deux sont comprises entre e, et &, et deux entre e, ct

vo . On a aussi & << a oo. Si u — 0) est réel, e, << x << 62, soit u = 0) + &, les 4 points

vs Ra Ril

sont imaginaires. Les { racines sont réelles lorsque a >> e1, u est réel, et on peut supposer o u < 4). On a :

NU), VU = — — + vw), DE ie Deus U U DR y CPE EN FRE 2) 2 AS:

Hu, = DIU EL

les 4 valeurs de !{ sont

; w ; u) u) Er & u=plo —°©), AA ANT EEE re ere t GP Le)

On a alors

É uw) * À ) e=p(u ANR =p(s—*)=4 et kb = L,.

Le premier membre de l'équation (1) doit être un carré. On a, en effet :

€y + € + 65 — 0, gr = — (ere: + 6263 + yes) = Â(e? —-eses) 3 — leseses.

L'équation (2) où a — e, devient d* Pr 4e,t° —- 2(e} — e2e3)l? —- hei(ei —+- ee3)l —+- (e° — 263)” 0) (E? — 2eit — ef — e,e3) — 0

PR + ÿ2e1 + 0,63 = e V(e; — €,) (€ — 63)

(E)= a + Ve ee =)

(Q) 1 LT Lens Ie Ceres SPAtR UE 1 pa Re ) = €, — (es — e) (ei — e;) le point 1 6) T—e.,, y=ple)=0

étant sur ox, les tangentes menées par ce point sont symétriques: par rapport à 0x.