Posons x
dx — dy
GR RS Ver e + 1e EN) GES 0 CET
1 ‘ . c ety—2—, pour avoir, sous le radical, un polynome en — dz
su 1 TON :
DORE j de façon que, la forme de la différentielle étant
conservée, æ — 0 corresponde à { — 0 de
VOD D
On à :
dl
= |" de “ou MP TS CES DC M in Vér?+x+1)(82x +x+ 1) V{ (i+$e)frrte) e)
FONCTIONS ELLIPTIQUES G51
Pour ramener le radical à avoir des racines réelles, on peut poser :
RES ture A 11 Prs4 la d9 Lin 72 do ct Su Vi Je — (Ë 0:
3 \ 1) Fe —:) PCA PE PLITE 8 ; UE NUPNOTe ne mr mA i do
Si on pose
la fonction Snv est définie par l'intégrale
il DR DS Uv, Don vien CES FT) Soit
4) = f. & -}- WE pour, F5 RE RE) J Va 0 —#0
ÿ suivant l’axe réel, en passant au dessus pour éviter le point 9 —1,
de sorte que “ fes V7 1) à — #07) if Eu.
: TETE = f RSS
D Sfr ai + + ui).
Mais on peut employer la formule d’addition
SnuCnvdnv + SnvCnudnu
Sn(u + v) — = (a + v) 1 — k2Sn?uSn?v
Si
U = W + wi,
Sn(u + &© + w'i) =
dn? fe hp — y —1e "à 7 Cn? È
Sn(w + wi) —
dn(w + w'i) = 0
Cn(o + wi) = Vi TR:
Sn(w + w'i)Cnudnu 1 = Sn
# dn É vi) kCn ( vit)
vai)
dnu kCnt
ed
ul
va)
— (1 —h?) (L ee nil 4/4 — Sn © Vrr Ve Ne On = vai l = ge ns Sn (5 vu)
EN eme
27010n 4% D par
HUE D Sn (5 Vi) :
— U — LES ViiCn (fvir) — Sn (ini) = X = 4ai — gx — 93 AA TR D A | ee Vies Va de ee VE @ Y'3 Ve
FONCTIONS ELLIPTIQUES 153
La dérivée de æ*/X est
nant VX + 12 X ment: qn — 400 + 3)x° — (an + 1)g42 — 2n93 ani, 2VX 2VX
Si 2 — 0, ou 1, on en déduit :
pue ee PE Men
VX = fre 2 de = 107, — Ÿ guys — 9
2VX Ou :
, . 392 n=En+Evr 7, tag enr
La dérivée de (x — a)"/X est
Æ ait EU ORNAaTE n(æ — a) V (æ ) VX __ 2n(4x° — 92 — 93) + (x — a) (12%? — gs À Le 2(x — ar yX __4{an +3)(x—a)+2/{(n+1)a(x— a)+-(an+-1) ( (124°—g2)(2—a)+an(4a—ags—9s) a(x—a)t/X Si a n'est pas un zéro de X, 4a° — ag, — q, n’est pas nul. Pour Nn — — I, On à :
VX Xts 4e — aÿ — (12 a? — g2) (x — à) — 2(40Ÿ — ag: — 93) se T—a a(x — a) VX
—2(y;—4)5)— (6a— ie Vol —({a salle aÿ? VX
ce qui donne ee de
Lot dx Ru (x — a} VX
Si Aa — ag; — g3 — 0. Cette équation donne
de PARA VE — 2, + 24}, |.
J @—ayvX g—1i24\x—a : :
Pour n — — 2, on a alors :
RER TER 2 ie fe (œ — a) # (æ — a)VX à J (æ—a} vx
3 ; da ie
3 (2 a° 0 fr — (92 — 12 a?) (2 7: En “e
+ 9244 (5 TE —+- sam)
Si on pose
æ— plu), y —=YX—= pu).
on en déduit :
shEvr — Sand 3254 VX PSS te QE
en choisissant u de façon que la constante d'intégration soit nulle. On a alors :
J rod = 2 u + a P{u)
20 | peau = 2q,u -+ 2p(u)p'(u) + 3g, | peur
(4a° — age — 0 [ot a) ER
RDA R) ANUS D fa US AN ETES f du Sen er 2au + à [toc (64 A de 0
Si e, est l’une des racines de X,
Lei — cg: — gs — 0
du EE 2 4 p'(u) fr Nb, ae pu) — €, mm op à [ pendu
3 Crus du LT EN A RUE du Te ner es CCS
