APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DES ÉQUATIONS, ETC

courbe c dont les tangentes rencontrent un cercle de centre €, situé dans le plan xoy ; 2° Rectifier un arc de la courbe c; 3° Calculer l'aire de la portion de surface conique balayée par le rayon vecteur 0M quand M décrit un arc de la courbe c; 4° Déterminer une surface passant par la courbe c, et coupant orthogonalement les sphères tangentes en o au plan xoy. (Lille, novembre 1905).

257. Trouver les surfaces telles que le plan tangent en tout point M rencontre oz en un point équidistant de o et du point de contact M. (Marseille, novembre 1904).

258. La normale au point M d’une surface coupe le plan x0y en À. Ce point M se projette en P sur ce même plan xoy. 1° Former l'équation aux dérivées partielles des surfaces telles que la bissectrice de l'angle AoP se confonde avec la bissectrice de l'angle des axes xoy ; 2° Intégrer cette équation, et former l'équation générale de ces surfaces ; 3° Déterminer la surface particulière S, qui passe par la circonférence x — y,

(x — a)? + (y — a} + 2 — ha’;

f° Déterminer les lignes de courbure de cette surface;

5° Montrer que les lignes de courbure de chaque système sont des circonférences, qui passent par deux points fixes, (Montpellier, juillet 1907).

259. La normale au point M d'une surface coupe le plan xoy -en P. Former l'équation aux dérivées partielles des surfaces telles que PM — PO; 2° Intégrer cette équation, et former l'équation générale de ces surfaces ; 3° Déterminer les lignes de courbure de l'une de ces surfaces, et montrer que celles d'un système sont des circonférences dans des plans passant par oz; 4° Montrer que, pour chaque surface, le point P décrit une courbe du plan xoy, -qui peut être arbitraire, et déterminer la surface pour laquelle cette courbe a pour équation y — ae-*. (Montpellier, juillet r902).

260. On considère les sphères tangentes au plan xoz, aux divers points de l'axe oz.

1° Montrer qu’elles satisfont à une même équation aux dérivées partielles du premier ordre (E).

2° Indiquer la génération de la surface intégrale la plus générale de l'équation (E), et ses caractéristiques.

60 PROBLÈMES D’ANALYSE MATHÉMATIQUE 3° Déterminer la surface intégrale qui passe par le cercle — 2 2 a LEO, +2 — 2y = 0.

4° Démontrer que la section, par tout plan passant par oz, de toute surface intégrale est une ligne de courbure de cette surface. Quelles sont les autres lignes de courbure. (Nancy, juillet 1909).

261. On considère les sphères tangentes au plan xoy, qui ont leurs centres (x, y, z) sur une surface donnée. Elles enveloppent une surface S, lieu d’un point (X, Y, 2).

1° Calculer les cosinus directeurs de la normale au point M à la surface S, au moyen de æ&, y, z, p, q.

20 Intégrer l'équation aux dérivées partielles

X(x, y, 2 pq) = 0

où X est l’abscisse du point M. (Intégrale complète, intégrale générale).

3° Former l'équation différentielle des lignes de courbure de la surface qui représente l'intégrale générale. (Toulouse, juillet 1909).

262. Déterminer les surfaces telles que, en un point quelconque, les deux tangentes principales d’une part, les deux directions principales d'autre part, se projettent sur le plan xoy suivant deux angles ayant leurs bissectrices parallèles à ox et oy. Lignes de courbure de ces surfaces. (Bordeaux, juillet 1906).

263. Trouver les surfaces telles que la normale forme avec oz un angle V :

cos V —