APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES
241. Trouver une surface $, passant par la parabole x —R, y? — 2, telle que le plan tangent au point M coupe la projection de oM sur Le plan xoy, à la distance constante R de l'origine. (Caen, juillet 1907).
2/42. Former l'équation aux dérivées partielles des surfaces S telles que la projection de l’ordonnée z d’un point quelconque sur la normale ait une longueur constante a; 2° Montrer qu’on peut considérer la surface S comme l'enveloppe d’une famille de surfaces représentées par l'équation :
Z + ÿz2 — a.
æ cos u + y sin u + f(u) — aL LP PR
3° Déterminer les lignes de courbure de $ ; 4° Déterminer f(u) de façon que la surface contienne le cercle z — a, x? + y? — 2x; 5° dans ce cas, ramener à une quadrature la recherche des lignes asymptotiques. (Marseille, juillet 1908).
243. Le plan tangent au point M d’une surface coupe oz au point P. La droite PM coupe le plan xoy en Q. Former et intégrer l’équation aux dérivées partielles des surfaces S telles que le point Q ait une abscisse donnée 4. Démontrer que ces surfaces sont réglées ; 2° Déterminer celle des surfaces S qui‘ contient le cercle 2 = 4,2? + y? = ax; et les projections sur le plan xoy de ses lignes asymptotiques ; indiquer la forme de ces projections ; 3° Déterminer
celle des surfaces $ qui contient la droite æ — y + z = 0. Cette
surface est du second degré, les génératrices rectilignes de l’un des systèmes rencontrent oz. Déterminer les projections, sur le plan æ0y, des trajectoires orthogonales de ces génératrices. (Montpellier, juillet 1909).
244. Soit OP la perpendiculaire abaissée de l’origine sur le plan tangent en M à une surface, N le point où la normale coupe le plan XOY. Déterminer la surface telle que le produit OP x MN —OM*. Parmi ces surfaces, déterminer celles dont les sections passant par OZ sont des lignes de courbure. (Lille, juillet 1909).
245. Trouver et intégrer l'équation aux dérivées partielles des surfaces S telles que la droite oM et la normale en M à la surface forment un angle qui se projette sur le plan xoy suivant un angle droit; 2° Déterminer les lignes asymptotiques des surfaces S ; 3° Soit À une aire prise sur S d'un même côté du plan xoy. Soit v le volume du cylindre projetant A sur le plan xoy et v’ le volume du cône de sommet O limité à la même aire A. Démontrer que u — 3v'. 4° Déterminer celle des surfaces S qui contient la courbe
Cuir as, et calculer v en supposant que l'aire À se projette sur XOY à l'intérieur du triangle limité par les droites x — 0, y — a, y = x. (Montpellier, novembre 1909).
26. Le plan tangent au point M d’une surface coupe oz au point T, le plan xoy suivant la droite D.
1° Former l'équation aux dérivées partielles des surfaces $, telles que oT — az, où a est donné ; 2° Intégrer l'équation obtenue et former l’équation générale des surfaces $ ; 3° Si P est la projection de M sur le plan æoy, montrer qu’il existe des surfaces intégrales telles que les droites D et oP forment un angle constant ; 4° Déterminer les lignes asymptotiques de ces dernières surfaces. (Montpellier, juillet 1904).
247. Déterminer une surface telle que chaque point M soit le centre de gravité du triangle situé dans le plan tangent en M, et dont les sommets sont sur les trois axes de coordonnées. (Poitiers, juillet 1903).
248. Trouver une surface $ telle que le plan tangent en M contienne le point symétrique par rapport à o du point de rencontre de la normale en M avec le plan x0y. On formera l'équation À que doit vérifier l'équation z — f(x, y) de la surface ; 2° Les cylindres
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DES ÉQUATIONS, ETC. 57 dont la section droite est une parabole de foyer o et de directrice parallèle à oz, sont des surfaces S ; 3° Indiquer une intégrale complète; 4° Intégrer le système différentiel des caractéristiques de l'équation À. (Dijon, novembre 1910).
249. La normale au point M(x, y, z) d'une surface coupe le plan æoy en N, le plan tangent coupe xoy suivant une droite D. Former l'équation aux dérivées partielles des surfaces S telles que la distance d de N à la droite D soit une fonction donnée de z,
2° Montrer qu'en prenant pour inconnue une certaine fonction
Z de z, on peut ramener cette équation à la forme P? + Q? — x,
Ôz Ôz à LAS x P=—,Q— re Intégrer en appliquant cette remarque ; 3° For-
mer l'équation différentielle des projections sur le plan æoy des trajectoires orthogonales des sections d’une surface S par les plans z —= c. Intégrer cette équation et interpréter géométriquement le résultat. (Poitiers, juillet 1907).
250. Une surtace S a pour équation æ? + y? — x/f(2). On considère le volume limité par cette surface et les plans z — 0, z — ec > 0. Indiquer les quadratures à effectuer pour calculer le volume de ce solide, les coordonnées du centre de gravité, le moment d'inertie par rapport à oz ; 2° Achever les calculs en supposant f(z) —vc?— 2?; 3° Former l'équation aux dérivées partielles des surfaces S ; 4° Mon-
trer que les plans tangents aux points d’une section z — const. rencontrent oz au même point. (Rennes, juillet 1908, pratique).
291. La normale au point M d'une surface S coupe le plan xoy au point N, le point M se projette en P sur le plan xoy. Déterminer l'équation aux dérivées partielles des surfaces S telles que PN — a longueur constante; 2° Trouver une intégrale complète de cette équation aux dérivées partielles ; 3° Déterminer la bande caractéristique d'éléments linéaires (æ, y, z, p, q) définie par un élément CRIME 4) dont les coordonnées satisfont à l'équation aux dérivées partielles. Quelle est la nature des courbes caractéristiques ; 4° Chercher l'équation du cône T, enveloppe des plans tangents aux surfaces intégrales qui passent par un point donné (x, y, 2). En déduire l'équation aux différentielles lotales des courbes inté-
grales; 5° Chercher la surface intégrale engendrée par les courbes caractéristiques issues du point x = y — 0,2z—h; 6° Déterminer les deux surfaces intégrales qui passent par la droite x — y = 2; 7° Chercher les courbes intégrales situées dans le plan z = x; et, en Ke ne la courbe intégrale c, de ce plan, qui passe au point
— z2—=u,y—0; 8° Déterminer la surface intégrale qui contient la courbe c. (Lyon, juillet 1911).
252. Former l'équation d'une surface passant par la parabole æ—=b, y* — 2az, et telle que le plan tangent au point M rencontre à une distance d de l’origine la droite qui joint cette origine à la projecuon de M sur le plan xoy. (Caen, juillet 1907).
253. Soit M un point d’une surface, m sa projection sur le plan æ0Y, N le point d'intersection du plan tangent en M avec la droite menée par 0, perpendiculaire au plan 02M. 1° Déterminer l'équation générale des surfaces S telles que oN — om; 2° Parmi ces surfaces 5S déterminer celle qui passe par la courbe y — 0, z? — 2x; 3° Trouver les lignes asymptotiques de cette dernière surface. (Paris, novembre 1905).
254. Trouver l'équation générale des surfaces dont le plan tan-
| à ON: :
gent en M rencontre OZ en un point N tel que {7 soit un rapport
constant. Déterminer une surface particulière qui passe par une hélice donnée d'axe OZ. (Grenoble, novembre 1904, pratique). 99. Soit S une surface intégrale quelconque de l'équation
1e —+- RÈe DUTY, LP = —
où U est une fonction donnée de x et y.
1° Démontrer que les caractéristiques situées sur cette surface coupent orthogonalement les sections planes de la surface par des plans parallèles au plan æoy ; 2° Les caractéristiques se projettent sur le plan xoy suivant une famille de courbes (y) dépendant de deux constantes arbitraires. Former l'équation différentielle du second ordre dont ces courbes (7) sont l'intégrale générale ; 3° Déterminer la fonction U(æ. y) de façon que les courbes (y) soient des circonférences orthogonales à l'axe des x ; 4° Trouver une intégrale complète de l'équation obtenue, et une intégrale particulière se réduisant à zéro pour æ — 0. (Paris, juillet 1905). 256. Trouver, sur un cylindre de révolution autour de oz, une
Lé
