Déterminer l'aire de la portion de la surface
Aa e @ +7)
qui se projette sur le plan xoy, à l'intérieur du triangle dont les côtés ont pour équations æ = 0, y — 0, & + y — 3. (Toulouse, novembre 1906).
37. Calculer l'aire de la portion de la surface 2az — x? — }?, qui se projette, sur le plan xoy, à l’intérieur de la courbe qui a
pour équation, en coordonnées polaires, p = a V4 cos 4. (Nancy, novembre 1904).
38. On donne le paraboloïde : e es = A7, US 0, D T0 et le cylindre ?, --% — e*. Calculer l'aire de la portion du paraboloïde intérieure au cylindre, et le volume intérieur au cylindre compris entre le paraboloïde et le plan x 0 y. (Montpellier, juil. 1908, pratique).
39- Calculer l'aire de la portion du paraboloïde z — æy, qui se projette sur le plan des «y, dans l’angle des parties positives des axes, à l'intérieur de la courbe représentée en coordonnées polaires par @ — cos w. Calculer le volume du cylindre projetant cette aire, compris entre le paraboloïde et le plan xoy. (Toulouse, nov. 1907, pratique).
ho. Un solide est limité par le cône 2? — 2xy et le cylindre VE FA V7 — 1, où les radicaux ont les valeurs positives. Calculer son volume, l’aire de la surface conique qui le limite, l'aire de la surface cylindrique qui le limite. (Bordeaux, juillet 1910, pratique). 41.Calculer le volumeintérieur à la fois dela sphèrex?+7?-7—1R?
et à l’ellipsoïde , Sin? & , COS? « sin 8 Ÿ cos 8
+ = R?, OLILB< =.
(Montpellier, juillet 1903).
42. Calculer le volume du solide commun aux deux paraboloïdes 2 2 = . — 92, F Le a — 2 (2 — 2). tue noY. 1909, prat.). 2 2 43. On donne l’ellipsoïde + F - . — 1et le paraboloïde
JY — < ; ON suppose — a LÀ < a. Mon-
pra u— À a trer que le paraboloïde divise le volume de l'ellipsoïde en 2 parties. Evaluer ces deux volumes. Déterminer À de façon qu'ils soient égaux. (Montpellier, juillet 1902, pratique).
44. Trouver le volume limité par la surface, lieu des cercles de courbure des sections normales en un point d’une surface, sachant que le rayon de courbure de la section normale qui fait avec un plan normale fixe l'angle w, est
EE © — —— its ne - 35.
ot ET ant (Poitiers, novembre 1905, pratique).
45. Calculer la surface du paraboloïde xy — az, qui est intérieure au cylindre (x? + y”)? — 2a°xy. 2° le volume intérieur au cylindre, limité par le paraboloïde et le plan xoy. On supposera a > 0. (Montpellier, juillet 1907, pratique).
6. On considère la surface z — D — aCOSW, X—D9 COS 6, Et snow, a >0,et un solide S, limité par cette surface, les
: . T T plans z—0, z—a, et la condition — à COURS 2: Calculer
l'aire d’une section par le plan z — c, le volume du solide, les coordonnées de son centre de gravité. Montrer que la fonction z vérifie l'équation
+ y? &3 —0. (Rennes, juillet 1909, pratique).
h7. Déterminer une courbe plane passant par O, telle que l'aire engendrée par la rotation de l’arc OM autour de OX soit dans un rapport constant K avec l'aire engendrée par la rotation de la tan-
gente MT limitée à OX. Examiner le cas particulier où K — “ (Paris, novembre 1903). |
48. Une hyperbole équilatère, dont les asymptotes sont ox el oz, tourne autour de oz, et engendre une surface S. 1° Evaluer le volume compris entre la surface S, le plan xo y, etun cylindreayant pour section droite une courbe c du plan x0 y. Ramener le problème à une intégrale simple. 2° Si la courbe c entoure l’origine, le solide a des points à l'infini, montrer que le volume est fini. 3° Calculer le volume lorsque c est une ellipse dont un foyer esten o. (Marseille, juillet 1907, pratique).
49. Sur le paraboloïde z = k T , on considère l’aire limitée par quatre génératrices, dont deux sont des axes de coordonnées, les deux autres sont dans les plans æ — 1, et z— 2. Calculer le volume du cylindre compris entre cette aire et sa projection sur le plan æoz. 2° Calculer À sachant que le paraboloïde se raccorde le Jong de oz avec la surface
x = ËÊ(r +u,)z + t(i + u,) z —=t(2 + u)z + Ê(I + uw)
OÙ U,, U,, Us, u, sont des fonctions uniformes du paramètre {, qui s'annulent pour £ — 0. (Marseille, novembre 1906, pratique).
