LEA
cn dnive, | (1 — 62)ÿ1 + 62 d6.
fa — 02) Vi +8 d = —2 (1 + + ARE
D'autre part :
RUES M RE 1 à do ru Ë fi dd—41 +06 RUEX ere
LA
à (TER dE + LE + VTT) FRA a nt eneeess 3 LA fou FF dù —ÈL(0 + Vi + Em) —ÿ (10) + DOVE
S, = || a 28) dr Ed CEE [e)
4x. La courbe d’intersection de la sphère et de l'ellipsoïde est sur la surface
sin? $
(sin? à — sin? $) — -X RD : >
cos? 8
J'en ELibots
cos? 8 — cos? 4)
L'intersection est formée de deux cercles.
On aura 70 9 ë Sin” & CUS QU sin? f 4 cos* 8
lorsque y* << x° cote” f5. C'est-à-dire que, pour un point (x, y) situé dans l'angle des deux droites y = + x cotg f, qui comprend l'axe ox, ou son prolongement ox’, le z de la sphère est inférieur à celui de l’ellipsoïde. Dans l’angle dièdre correspondant, la sphère est intérieure à l’ellipsoïde. Dans l’angle dièdre, formé par les plans y = + x cotg f, qui comprend l'axe oy ou oy', l’ellipsoïde est intérieur à la sphère. Le volume commun est donc formé de la 3 | = n 140 2 fé portion de sphère comprise entre les deux plans, lorsque ne <cotg 6, . . ï ex et le volume de l’ellipsoïde compris dans les angles dièdres supk 2 ti èr plémentaires, pour lesquels . > cotg B. La portion de sphère est. . 54, 1 f Il 3 L < la somme des NO— limitée par un angle dièdre égal à 2 (= —f}; Y 2 : 5 est lumes de sphère compris dans les deux angles opposés
: R'(x — of). Si z est constant, l'ellipsoïde est coupé suivan”
l’ellipse représentée par
D; — cos B .
cos L = VRAI — 22" sin !
a , Y V COS x :
et, pour la portion comprise dans le dièdre à évaluer
Ÿ 2 (2) —= tg? 1 cotg* f tg°
doit être supérieur à cotg? (5, tg? { >> cotg? «, { peut varier T T : Ha eee :
entre - — «et : + &. Si on considère | ellipse comme la projec-
tion du cercle TX 7 tn ALU Lis cts 8 cos É Sin £ sin &
l'aire de la portion de cercle correspondante aux deux angles opposés est
sin? 8
sin? &°
et l'aire de l’ellipse comprise dans l’angle dièdre considéré est
sin B cos 8 sin & COS %
Le volume de ce dièdre, limité à l’ellipsoïde, est :
s R An ee di il (R? — z°?)dz —
1h20 tas ME
LE (Re) 8, sin 2 BR.
sin 2%
Le volume total est :
42. La courbe d’intersection des deux surfaces a pour projection, x?
ra jette à l’intérieur de l’ellipse, une parallèle à oz le coupe aux
sur le plan xoy, l'ellipse -- + Ds 4. Le volume commun se pro-
deux points
intégrale prise à l'intérieur de l’ellipse, c’est-à-dire que
DANONE r APN
Effectuons le changement de variables :
ve MipicOs 4, y = \6psimit, RU)
On aura les points (x, y) intérieurs à l’ellipse, si { varie de o à 27, p de o à 1. Dans l'intégrale double on doit remplacer dxdy par D(x, y) | D, y) D, Ÿ dedt, où D. 5 représente le déterminant des dérivées partelles de x et y par rapport à set {
4 cos t, 6 sin { — osint, 6p cos {
af fau p?)2460 dedt — 10; S (1 — p?)25 do = SAIT.
43. L'intersection des deux surfaces est formée de deux coniques situées dans les plans :
D Ai À et La conique située dans le plan x — y St imaginaire, la
partie réelle de l'intersection est la seule conique, dans le plan æ — [1 Considérons le volume limité par le paraboloïde où À << æ < p., et la partie de l’ellipsoïde pour laquelle 4 < x < a. Lorsque x est constant, la section de ce volume sera une ellipse
située sur le paraboloïde si À << x < 11, l'aire de cette ellipse est
DTA A pi
HirES EE
Si y. <C & < a la section est une ellipse de l'ellipsoïde, sa surface est rbe( à —— it On a donc :
a? ra: 2 SV à À 2 LE mhe +. 7— dx + sbe(1 — >) de = Fe
A — 2 eo PE = ne Et (u 2) + she (a — pu — LE) =
Le volume limité par le paraboloïde et l'autre partie de l’ellipsoïde est :
rbe
Va à rabe— Vi= 3 nbo(a + p) — 9 (at — p2) (u — 32).
On aura V, = V,, ss À——u rt ce qui suppose ARR a(\/4 ae 1) pour que — a <<.
44. Si on prend pour origine le point de la surface, oz étant la normale, æ0z le plan fixe ; la surface est engendrée par les cercles
y=arigu, x’+y + (z-—R) = FR.
Le volume, compris entre deux cercles infiniment voisins, peut ètre considéré, en négligeant des infiniment petits du second ordre, comme le volume d’une sphère de rayon R, compris entre deux plans formant l'angle do. L'ensemble des volumes compris dans
les deux dièdres opposés est : à Rdo. On a donc :
V AUTRES c°dw F4 J, (a? cos? w + b? sin? w)°
Fasry. — Anal, — I 8
En remplaçant w par 7 — w, puis en posant tg w =}, On a:
ie 8 2 du 8 , ( (b?+ «8 V— ;0c —— —— 5 — = 3% C :
3 eo (at cost w + bsinw) 35) ab5i +28)
Mais on a :
Lol 1 — À t HR.
Ja Ends Se APE TERTT E " En TO (o €] 1 — 31° t RE 2 Je en Gap Î A ME ©0 CO CO di L? t* Î a + à) [ A+" il. (De
RS PU ane 3 ur NT TE 0 JUMENT OM CA
Er «lu bi ob? + ail ,, rc . :
Vpn | EP NOR DRASS (3b! + 2a?b? + 3at).
On pourrait également chercher le volume V intérieur à la surface
ri À 8 es 4 ——
TR PE ie TES 1 PRE RAP ER NO Er : 2 2 ny ax? by? 5 M peau LT ss À ras V—/|2 ne (a? cos? w + b? sin? w)?
c3 O, << 0 KT
[a] —EPREERES AUS LS SORT RP ET ER SH TE AUS
après avoir intégré par rapport à p, on retrouve la même intégrale
par rapport à c).
