Si =n , ce qui répond à l'énoncé
Trouver sur la ligne qui joint deux points donnés un troisième point tel, que le carré de sa distance au premier soit équivalent au rectangle construit sur sa distance au second , et une longueur donnée ;
AK se change en AL , et la construction s’achève comme précédemment.
5. Enfin , quand on a à la fois m = netA = / = a, la construction , modifiée d’après cette nouvelle condition , fournit la solution du problème :
Diviser une ligne en moyenne et extrême raison.
4 . Si l’on substitue, dans la valeur précédente de A=: a , on trouve
d’où l’on déduit la construction donnée dans les éléments de géométrie.
Comme il est souvent utile de pouvoir reconnaître dans une formule algébrique l’expression d’une construction facile , nous écrirons de la manière qui suit la plus grande partie d’une longueur divisée en moyenne et extrême raison :
Le coefficient numérique constant de a fait voir que , si l’on divise deux longueurs quelconques en moyenne et extrême raison , les deux plus grands segments seront proportionnels aux longueurs.
S, Construire un carré , connaissant la düTérence de la diagonale au côté.
Soient et af la différence donnée et le côté demandé -, d-\- x sera la diagonale, et l’on aura x^.
d’où , résolvant par rapport è d ,
donc la différence de la diagonahi d’iin carré à son côté est la plus
Digilized by G(X)gI
grande partie de ce côté divisé en extrême et moyenne raison.
Il suit de là que ces différences sont proportionnelles aux côtés eux-mêmes.
Delà cette construction facile (fig. 2) : Construisez un carré quelconque AXYZ, menez la diagonale AY, portez YX en YH, et prenez Al égale à la différence donnée de la diagonale an côté du carré cherché ; menez HX et Ifi sa parallèle, et le côté demandé sera Afi.
Si l’on résolvait l’équation du problème par rapportât;, on obtiendrait
ce qui fournit cette construction moins élégante (fig. 8) : Au point B de AB = élevez la perpendiculaire BO = ^ ; du point O décrivez la circonférence OB , et menez AOI ; AI sera le côté du carré cherché.
6. Étant donués trois points sur une même droite, trouver un quatrième point tel , que le rectangle fait avec sa distance au premier point et une longueur donnée soit dans un n-ipport donné avec celui qui aurait pour côtés ses distances aux deux autres points.
Soient a et A les distances des deux derniers points au premier, et X la distance du point cherché , Z ei — étant la longueur et le
rapport donnés , on aura pour équation du problème
Ix m
soit fait — l :
h , l’équation deviendra hx
Et le problème est ramené à trouver sur la droite des trois points un quatrième point tel , que le rectangle fait avec sa distance au premier et une longueur donnée soit équivalent à cdui qui aurait pour côtés ses distances aux deux autres. *
Développant l’équation précédente , bn obtient ,
Connaissant la somme et le produite dés deux racines de cette équation , ou en cousiruira les valeurs ainsi qi^suii
(Fig. à.) A, B et C, étant les point;^ donnés, 4W^Qricl9^pu BD/
‘'vt
Dk
et ensuite DK = A , quatrième proportionnelle à »t , n et L = / ; de sorte que AK = a -f- A ~}“ A. Sur AC on décrira une demicirconférence, et, élevant BV perpendiculaire, on aura ÂV^ = o A. Sur AK, nouvelle demi-circonférence, au point A, on élèvera la perpendiculaire AV', sur laquelle on prendra AV' = AV, et parle point V' on mènera HV'H' parallèle à AK ; enfin , abaissant HI et H'I', les ponts 1 et I' seront les deux points du problème.
Quand s= « , ce qui est le cas du problème réduit, on n’aura qu’à porter DK = /, et l’on achèvera la construction.
PR«Bt,ÈME.
7 . Étant donnés trois points sur une même droite, trouver un quatrième point tel , que le carré de sa distance au premier soit équivalent au rectangle de ses distances aux deux autres.
Si l’on suppose que le point cherché tombe entre les deux premiers , les données étant les mêmes que précédemment , on aura = (a — x){b — a?) ,
d’où
et
par conséquent
ab
De là cette construction : Divisez AB en deux parties proportionnelles à AG et AB ; le point de division I sera le point cherché (tig. 5). Deux manières d’opérer cette division.
Mais il peut se faire que le point cherché tombe entre B et C ; alors l’équation de condition serait
d’où l’on obtient
1 /o 4- An I / 1 /a 4- b'Ÿ ab
Cette valeur peut se meltre sous la forme
donc , entre B et C (fig. 6) , cherchez un point I tel que BI X IC = AB X 40 : le point 0, milieu de AI, sera le point demandé. Le problème est. susceptible de deux soluiions, à moins que
8. Étant donnés trois points sur une. même ligne droite, trouver un quatrième point tel , que le carré de sa distance au premier suit dans un rapport douné avec le rectangle de ses distances aux deux autres.
Si le point doit se trouver entre le premier et le second , l’équation de condition
développée et ordonnée , donne
ab —'0-,
Et le problème est ramené à trouver entre deux points faciles à déterminer un troisième point tel , que le rectangle de ses distances à ces points soit équivalent à un rectangle donné.
Si l’on demandait que le point cherché se trouvât entre les deux derniers points , il faudrait changer comme précédemment (o-ar) en (a;-a) , et l'équation ainsi modiüée ,
donnerait — (o -j- b) -4- — ^ — ai = 0,
4 équation qui se construit par une méthode analogue à la précédente.
9. Étant donnés quatre points sur une même ligne droite, trouver un cinquième tel , que le rectangle de ses distances aux deux premiers soit dans un rapport donné avec le rectangle de ses distances aux deux autres.
Si O, b, c, représentent les distances des trois derniers points au premier , et x la distance du point cherché , en supposant qu’il tombe entre le second et le troisième , on aura pour équation
(b — Xj (c — x) n ’ développant et ordonnant , on trouvera
x^ — r — — — (i -}- c) * H — Ae = 0.
Si m = » , on n’a plus qu’une seule valeur de x , qui est
bo
Nous laissons au lecteur le soin de construire ces valeurs, et de discuter les cas particuliers du problème général.
10. Étant donnés quatre {Joints sur une même ligne droite , trouver un cinquième f>oint tel , que le rectangle de ses distances aux deux points ex* trêmes soit dans un rapport donné avec le rectrangle de ses distances aux deux points moyens.
Les données étant les mêmes que dans le problème précédent , on trouvera pour équation de condition
(X — a) {A — «) n ’ qui donne . par son développement ,
r JÎÎ(„ + A) ü e"|a.|__^aA=:0. (1)
\jn — ^ m — n } ' m — n
On construira les racines de celle équalion du second degré comme il a été indiqué précédemment.
11. Il est facile de trouver la valeur minimum du rapport — . qui correspond à la plus petite valeur de x : en effet, si l’on résond l’équation précédente, on trouvera x =
~ ^ m—n J i\jn-n m—n J m—n
or celte valeur de ar devient minimum si ; . t
Lhi — m — wJ («t — «)
divisant tous les termes par , après avoir chassé le dénominateur commun , on aura ,
d’où^^^ (fl-|-i)* — 2^(fl-}-i)c-}-c^— 4 ^ ab-\-U — ah — Q\
et toute réduction faite
(4 — fl)^ — 2 [fl (c — 4) — 4 (c — fl)] ^ c* £= 0 ,
,, , m aie — b)— Ve — fl) . I /f a{e —b)—b[c—a) Y
(4-fl> L 05^0)^ J ih—aY
Égalant à zéro le radical , on aura
[fl(c — 4) — 4(c — fl)P = c*(4 — fl)*,;
m aie — 4) — 4 (c — fl)
et mettant dans la valeur minimum — = (i — aÿ~
la valeur de(b—a^, on obtiendra enCu , après réduction,
n a (c — A) — i(c — a)'~~ a — b* valeur minimum chercliée.
, ab .
Lorsque m — n, on a a: = ^ ^ ^ ^ , quatrième proportion-
nelle tacile à construire.
