Inscrire un carré déterminé dans un carré donné

Soient a le côté du carré donné , o le côté du carré à inscrire, a> la distance d’un des sommets du carré inscrit au sommet du carré .donné , on aura pour équation

dou jr — at-| — = 0;

et le problème est ramené à diviser le côté du carré donné en deux segments dont le rectangle soit équivalent à une surface donnée (fig. 7). On trouvera par la discussion que le côté du carré à inscrire ne peut être plus petit que la moitié de la diagonale du carré donné; dans ce cas particulier le carré s'inscrit en joignant les milieux des côtés du carré donné.

15. En général, si l’on divise successivement les quatre côtés d’un carré dans un même rapport , il est facile de démontrer qu’en joignant les quatre points de division , on forme un nouveau carré inscrit au premier. 11 s’agit de chercher la relation qui existe entre les côtés et les surfaces de ces deux figures.

Et d’abord il est facile de voir que, si — désigne le rapport donné , o le côté du carré donné , et x, le côté du carré inscrit , on

Et par conséquent si un troisième carré est inscrit de la même manière dans le second, un quatrième dans le troisième, un cinquième dans le quatrième , on aura successivement

La somme de tous ces carrés sera donc exprimée par m? -f- w im -j-«/

et ; après N inscriptions , la formule de la somme des carrés d deviendra

etc.

1 \(wi-|-n)V

(wi-

i wi^ + n* ?

Il serait facile , d’après cette formule , de résoudre le problème suivant : Aprh combien d’imcrtplions la tomme de tout let earrét tera-t-elle équivalente à une turface donnée ?

Mais, sans s’arrêter à ce problème général, on peut se demander de trouver la limite vers laquelle tend la somme des carrés inscrits ; or la formule connue L = devient , pour la progression dé-

croissante qui précède ,

et la limite cherchée

—tH-

(m -\-nJ

Win

Si mnzn , la limite de la somme de tous les carrés inscrits, en

divisant successivement en deux parties égaies les côtés des carrés,

est égale au carré primitif (fig. 8).

Quant aux côtés, on a

J/ »i^-)-w* ar. = — c,

' Wî-|- w

• \ wi4-n J

etc.

qui est vrai aussi pour les contours ; par conséquent

wt-|-

A la limite

g ;(/ Tr?-\-n wi-f-n

ni

ïT^pn J

etsim = M, S,==^— |^c==p;|^c = c(l + K2^

la limite de la somme des contours des carrés inscrits est égale à la somme des contours du carré donné et du carré construit sur sa diagonale.

i4. Par un point donné mener une sécante k deux circonférences concentriques telle que la partie comprise dans la ouronne soit d’une longueur donnée. -

Soient OA=:r, OBrsîr', PBAA'B'la sécante cherchée , 2/ la longueur donnée, et s; == OR perpendiculaire abaissée du centre commun sur la sécante. On devra avoir ‘

BR — AR =: 2 ^ ou — x* = 2i ;

d’où l’on tire facilement, après avoir élevé deux fois au carré,

[ -f rO — ^ ('^2 .

développant et réduisant

— <'r'-fr+2/) (r'4-r— 2f) (r’-f 2f— r) (r+2f— rQ

d’où l'on conclut que cette valeur est constante pour toute sécante telle , que la partie comprise dans la conronne soit égale à 2/.

De là cette construction (fig. 9). Par un point quelconque M portez par une ouverture de compas ML = 2/ , prolongez cette sécante, et abaissez OR' perpendiculaire ; du point O , avec ce rayon OR', décrivez une circonférence , et les deux tangentes menées.

• du point P à cette circonférence seront les sécantes demandées, lis. Remarquez que 2/ et x étant la base et la hauteur du triangle ^ OAB , dont les côtés sont r*, r et 2^, on a

et si l’on fait r'-j-r-j-2/ = 2p, d’où r'-j-r— 2/= 2(p — 2/) ,

*^-1-2/- r= 2(p -r) , r-j-2/-rt=2(p -r'),

on retrouve la formule connue

Surf OAB — P {p — 2/) (p~r) {p — r*).