IA

Ajoutant et remplaçant Ich par sa valeur, » étant la surface du triangle , on aura

10 1 Li 1 ic—

TA I ¥A I TA c'c'^-j-c'c^ —

lU-f-lA-J-lti — ;

ajoutant et retranchant au numérateur 2ce'e*, on trouve

lO+IA+IC = *

c'c*^+c^c' — c’^-^-ee’^-^-ec'^ — c^-|-c^c'-|“«*é’^ — — 2ce'c'

3cc'c*

"ir*

Le numérateur de la première fraction peut se mettre sous la forme

(c*-{-c’ — c) — cO (c-|-e'—

Multipliant le numérateur et le dénominateur par c-j-c'+c»» on obtiendra ,

lO-f lA-l-IC =

(c-j-c'-J-c*) (c-j-c' — e*) (c-|- c' — c') (c'4-c" — o) , Sec'c'

~ k» (c-|-e'-j^; kt ’

mais on a

donc

enfin

IO+IA+IC = ^^ + ^i

io+iA+ic=2^^:j:^+f£f^

Or, en désignant par R et r les rayons des cercles circonscrit et

inscrit, on a

cc’c*

donc 10-f-IA-j-IC = 2r+2R.

Et de là le théorème :

La somme des distances du point de concours des trois hauteurs aux sommes d’un triangle quelconque est égale à la somme des diamètres des cercles inscrit et circonscrit.

Diqitized by G