Si m=n , on a le théorème suivant

Si l’on divise les quatre côtés d’un quadrilatère en deux parties égales, les lignes qui joignent les points de division forment un parallélogramme.

9t$. D’a[>rès ce qai précède , soient

c, , c, , Cj , C4 , les côtés d’un quadrilatère ;

d, , d, , les diagonales f

les droites qui joignent les milieux des côtés op> posés ;

p,, Pt, les côtés du parallélogramme inscrit ;

l la droite qui joint les milieux des diagonales :

on aura les relations

c.^+c.^+o,^+e^^ = 2(OT.2-f-wi.2)-|-4P,- THÉORÈME.

96f Dans tout triangle les trois perpendiculaires élevées sur le milieu des côtés concourent en un seul et même point.

L’origine des axes rectangulaires étant à l’un des sommets du triangle , O par exemple (fig. 53) , et l’axe des x étant dirigé suivant le côté 06 , on aura

0,0, pour coordonnées du point O ,

a, h, du point A,

b, 0, du point B ;

et les côtés 06 , OA , AB, auront pour équations

OB

OA

AB

et les perpendiculaires MI, M’I, M»I,

MI

Ml

Si l’on combine deux à deux ces trois équations, on trouvera toujours

pour coordonnées du point commun 1 des trois droites : donc, etc.

THÉORÈME

97. Dans tout triangle les trois perpendiculaires abaissés des angles snr les côtés opposés concourent en un seul et môme point (6g. Si).

Les perpendiculaires AP , BP*, OP', ont pour, équations

AP a:=a, (1)

BP»