IA “ LA

112. La valeur de |3, qu’on peut encore construire directement, peut être négative, ou positive et plus grande que A. Dans ces deux cas l’analyse douai une solution plus générale que l’énoncé. En effet, on ne peut regarder les rectangles M'N'I^Q', comme inscrits au triangle. Il est facile de déterminer les conditions de posnihilité du problème d’après la valeur de jS.

Au surplus , on voit de quelle manière ou pourrait généraliser l’énoncé pour qu’on pût se servir de la valeur générale , et comment, d’après cet énoncé général , les deux problèmes précédents acquerraient des solutions nouvelles.

il2. Inscrire dans un triangle donné un rectangle dont la Base et la hauteur aient une différence donnée.

B— H=rf:

(Fig. 61.) Portez 0.\' = ^ en OH', après avoir achevé le rectangle OBA'A'; prenez OL=rf: alors BH' = A-1-A, ct BL=A — d.. Joignez H'A% et menez LG parallèle à H'A* : IH = BG sera la valeur de

En faisant la même construction pour chacun des côtés du triangle , on obtient les trois solutions du problème. Cette remarque se rapporte aussi au numéro précédent.

donc

1 15. iDScrire dans un triangle donné on rectangle dont la somme ou la différence des carrés de la base et de la hauteur soit égale à un carré donné.

Les deux énoncés B* ,

deviennent, an moyen des valeurs de B et H , t' i fji — f

et, tonte rédnction faite.

et les solutions des deux problèmes sont ramenées à des constructions d’hypothénnses, ou de côtés d’angles droits et de quatrièmes proportionnelles.

Nous laissons au lecteur le soin de faire ces constructions , qui n’offrent aucune difGculté.

On doit remarquer encore que chacun des deux problèmes est susceptible de six solutions.

D’ailleurs on reconnaîtra facilement , par la discussion des va-

leurs , les cas d’impossibilité qui peuvent se présenter , d’après la forme du triangle donné.

114. Étant données trois droites OA, OB, AB ( Gg. 62), qui se coupent deux k deux, mener parallèlement à l’une d’elles OB, une droite MN telle, que MN OM + BN , 2» que M’N’ = OM* — B’N’.

L’origine des axes rectangulaires étant placée au point O, et la droite OB prise pour axe des x , si l'on se sert des mêmes notations , on aura toujours pour les coordonnées des points M et N (n» 106)

fc-f

ttl3-}-&(A— 13) ]

de sorte que* et si l’on désigne par c le côté OA du triangle OAB ,

De même BN:

OM = d=Ç.

et désignant par & le côté ÂB ,

BN:

Déplus MN = PQ=ar.-a:.=^^^^^--Ê :

donc, d’après l’énoncé du problème,

d’où , eu égard au double signe , les deux valeurs

expressions (n° 69) des rayons des cercles tangents anx trois droites : la première répond au cercle inscrh , et la seconde au cercle tangent extérieurement au côté OB.

• De là cette construction : divisez les angles 0 et B et leurs suppléments en deux partis égales , et par les points de rencontre C, et C, des bissectrices menez M,M, , M.N., parallèles à OB.

2« L’équation de condition du second problème sera

d’où les deux valeurs

dont la première représente le rayon du cercle tangent aux trois droites, et particulièrement langent extérieurementau côté AB = e', et la seconde , le rayon du cercle tangent extérieurement aux côtés OA = c. '

Donc , prolongez la bissectrice de l’angle O jusqu’à sa rencontre avec la bissectrice du supplément de B, et la bissectrice de B jusqu’à sa rencontre avec la bissectrice du supplément de O ; par les deux points C, etC^, ainsi obtenus, on mènera, parallèlement à OB, M',N', et ^ qui satisfont à la question.

On résoudra sans difliculté le problème suivant ;

PROBLtME.

Mener une ligne droite parallèle è la base d’un triangle , et telle , 1* que la somme des parties interceptées sur les côtés, b partir de celte base , soit égale b une longueur donnée ;

2° Que la différence soit égale à une longueur donnée ;

3° Que le rectangle soit équivalent b une surface donnée.

THÉORÈME

118 . Dans un triangle quelconque OAB (Bg. 63), si l’un mène des sommets trois droites AP, BR, OQ, qui se coupent en un même point quelconque intérieur I , la somme des rapports des parties de ces droites comprises entre le point commun et les côtés respectifs aux droites entières est toujours égale b l’unité, c’èit^MÜre qu’on a toujours.

O. J. IQ -4

1° Les axes étant disposés de la même manière, et les notations ■ étant les mêmes , si «, p, désignent les coordonnées du point commun 1 , on aura

IR = K(y^M-

et BR= {x — bf ^

J? et ÿ étant les coordonnées du point d’intersection R des droites OA et BR , dont les équations sont

Pour éliminer plus facilement , on peut mettre ces équations sous la forme

d’oùrontire {m — a)!" — — -1 = -»— p L« — ® oj O

Cl .

enfin , p = p ,

et par conséquent

D’ailleurs l’élimination entre les mêmes équations (1) et (2) , dont la première prend la forme

donne

d’où

(j? — b) [a^ — b (k — A)] a= bh (« — b), x — bt=. — ^ — -r-iC» — *);

■ajS— A(a — êr bh

ap — A(« — ifr)

donc BR Ky^+(^~ by = ^ , ■

'"'T* IR ha — aS

«parsmM BR=-M •

2° On a de même IP (x — «)* ,

AP = kA" + (a!— a)^ et pour déterminer x , les équations OB y = 0,

et — (t

A cause de l’équation (3), l’équation (4) donne

et par conséquent

IP = = fîri kfp-4)^+(« - 0)2.

De plus, l’équation (4) peut se mettre sous la forme

et faisant y= 0 , puis réduisant,

d’où AP = |/A2-|-(ar — 0)2 r= |.^(j3 —A)2 -)-(« — o)*, et par suite

JP p AP “ A

résultat que la fi{];ure aurait pu donner directement.

8° Enfin ' IQ = (a? - ,

OQ = I/i^+p,

les valeurs de a: et y étant données par l’élimination entre les équations

qui prennent la forme

rp (a — b) — h(u — b)- i

d’où Ji-p{a — b)

rs fg — />) — ^(« — ^)1 -, et (y — P)— P a/t — p(a^^) J ■

donc IQ = |/'(® — «y + (y — — «A — p(o — />) »^“+P * et d’ailleurs l’élimination directe entre (8) et (A) donne

d’où

ah — P (a — b)

y ~~ ah — p{a — b)

OQ — l/jf^ + y^— „/, P(a

et par suite •

Réunissant tous ces rapports , on aura

IR IP IQ A«-g^ I P ■ ^(a — b)-h(a — b)

BR “■ AP ÜQ bh h~' bh

réduisant au même dénominateur les fractions du second membre, on obtient

iRriP-uiS-l

br~*"ap"‘“üq~ ’

indépendamment d’aucune valeur de a, p, et des coordonnées des sommets du triangle.

THÉORÈME

iie. Dans tout triangle , les produits des segments non contigus formés sur les côtés par les lignes menées des angles à un même point mt rieur sont égaux entre eux , c’est-à-dire qu’on aura (fig. 63)