CO
m-^n b ’ h = k, on trouvera
et
u^ ku “1“ kci nu 0 .
a kt- a) = ka.
Le problème est donc ramené à construire tlh rectangle dont oa connaît la somme des côtés k et la surface ka. Nous laisserons an lecteur le soin de construire et de discuter les valeurs de a.
158. Par un point donné mener une sécante telle, que, par ses intersections’ avec deux droites données qui se coupent , elle forme un triangle d’une aire donnée.
Les axes et les notations étant comme au n® 136 , et l’aire du triangle lOH étant exprimée par
• 10 . IH sin 0 onx
(fig. 89) ,
si est lu surface donnée , l*^équatiou du problème sera
bd. .
a sm ü
et si l’on change en bk sin O , on aura
a?- — 2A« -(- lak = 0 , (1)
d’où l’on tire ' a — ki. l^(k — o)^ — a^.
De là cette construction : changez le carré donné = OMNP en un parallélogruinme OyRK équivalent , et dont l’un des cètés Oy~b -, sur ¥kX — k — a décrivez une demi-circonférence , et prenez xv—a;0=:a, de sorte que kv ~ ^ (k — ; du
point k, enfin , comme centre , et d’un rayon =z kr, décrivez un arc de cercle qui coupera OX en deux points, H et H' : les deux sécantes du problème seront lAH , l'AH'.
Il est facile de voir qu'il n’y aura qu’une solution lorsque O/c sera égal à 20:r , et aucune si OA 20jr.
On peut déduire une autre construction , moins élégante , de l’équation (1)
139. Deux droites qui se coupent , '^étaut données, ainsi qu’un point sur chacune d’elles , mener par un point donné une sécante telle , que le rectangle des segments interceptés , h partir des points donnés , soit égal à une surface donnée.
, Soit OD = d, OÛ^= d' (fig. 90), et, comme précédemment , OH = a, 01=
l’équation du problème sera
(« -}- a) ^ surface donnée.
Développant les calculs indiqués et ordonnant , on trouvera , — ad' -1- dd'\
et si l’on fait ?n^ = kd' , on aura , toute réduction faite ,
- a) - c/]- « I = a . (A + cO-
et le problème est encore ramené à trouver les deux côtés d’un rectangle dont on ccnnalt le contour et la surface.
De là cette construction : prendre OK = * , tel que OK . OD' = OMNP, c’est-à-dire tel que wi^ = kd' , on aura
xK — k — a et jrK' = ^ (K — o) ;
enfin si l’on porte DX de K' en K" ,
OK* sera égal à k — a) — •
On voit facilement que
afO’ =z Oj? — T = « î jî ;
xy' b — a"
et par conséquent si l’on a pris DT = XO* , on aura
ï)U^=:DT.DX = a J^,{k-\.d).
Donc : décrire sur OK" une demi-circonférence ; élever, au point D, DU’ = DU perpendiculaire à OX ; mener U'VV' parallèle à OX , et des points d’intersection V et V' de la parallèle avec la demi -circonférence OK" abaisser les perpendiculaires VH , V'H', qui détermineront les droites cherchées lAH , l'AH' , telles que D'I . DH = ou D'I' . DH' = m2.
Il est aisé de voir comment l’équation dn problàne et la solution se modifient lorsque la position des points D et D’ est diffé^^ rente ; dans tous les cas la construction ou la discussion immédiate de l’équation finale feront ressortir les cas où le problème n’a qu’une solution , et ceux où il est impossible.^
140. L’une des quantités d et d ' peut être nulle, et alors le problème répond à l’énoncé :
Deux droites qui se coupent étant données , mener par un point donné une sécante qui détermine sur elles deux segnaents dont le rectangle soit d’une surface donnée , ces segments étant comptés , l’un à partir du point de concours des droites données , et l’autre à partir d’un point donné sur l’une d’elles.
Enfin , si les quantités d et d ' sont nulles à la fois , on retombe dans le cas du n» 136.
On pourra , pour ces deux derniers cas particuliers , se servir de l’équation générale (F); mais après avoir substitué à A sa valeiH
tn^ '
k . Par exemple, si d' — 0, l’équation F, mise sous la forme
devient
{ r/ wi^ d' \ “I ) am? udd'
et , faisant <i' = 0 , \
équation dont on construira facilement les racine^ après avoir fâit h»
Enfin si l’on suppose de plus d — 0, on retrouve l’équation / N »i*
qui est la même que l’équation (l) du n»136 , lorsqu’on pose
-j=ik.
141. Les données étant les mêmes qu’au problème précédent , mener une sécante telle , qne la somme des segments , à partir des deox points donnés , soit d’une longueur donnée.
Si les points donnés sont dans le sens des abscisses et des ordonnées positives ^p’est-à-dire sur les côtés de l’angle dans lequel se trouve le point donné , on aura pour équation de condition
(a — d) (~ZT^ — d’'^ = l, longueur donnée.
Développant et ordonnant , on trouvera
a[[(/-|-d-f-d')— (*- û)]-«) = o(^+,‘^.+ <f) . d’où l’on déduit cette construction (fig. 91) :
Achevez les parallélogrammes ODED' , Oa?Ay ; portez D'E en D'E' et y A en yA' ; alors OE' — d-\-d' et OA' — b — a ; prenez OL = / , et menez LM parallèle à Ay , E'M à AX et E'K à A’L ; en portant I.K en LG et LM en LF , il est évident que OF = f -jetOG = /-f rf-j-d'-(i-a).
•' Sur OF et OG décrivez des demi - circonférences ; au point x élevez la perpendiculaire DU ^ et joignez DU : DU^ = Oa; . OF =:
a (/-f- c? -}- </'). Snr la perpendiculaire OU' prenez OU' = OU , et menez U'V'V parallèle à OX ; enfin des points V' et V abaissez les perpendiculaires V'H' , VH, et les deux valeurs de « seront OH' et OH ; les deux sécantes cherchées seront lAH , l'AH'.
142. Cette solution est modifiée par les différents signes qui peuvent affecter les quantités d, d\ o et A ; de plus d et d' peuvent être l’un ou l’autre , ou tous les deux à la fois nuis : dans ces cas particuliers on verra facilement comment l’énoncé et la solution se modifient.
Si l’on suppose par exemple rf = 0 , rf' = 0 , l’équation de condition devient
d’où l’on tire facilement
(«t — a)^ — [/ — (« 4" ^)] — a) + ai = 0 ,
et de là la construction suivante :
Sur la longueur donnée l portez la somme de l’abscisse et de l’ordonnée du point donné o-j- A ; et snr l’axe des x , à partir du pied de l’ordonnée , portez la différence l — (a -j- A) ; sur cette nouvelle longueur décrivez une demi-circonférence ; aux extrémités élevez des perpendiculaires égales à a et à A , et joignez les extrémités de ces perpendiculaires : enfin , par l’un des points d’intersection de cette droite de jonction avec la demi-circonférence , menez à cette même droite une perpendiculaire , qui partagera le diamètre en deux segments tels , que leur produit sera égal au produit des perpendiculaires.
En effet , soit généralement . ®
= (2R — ar) ar , (1)
l’équation d’nn cercle décrit sur un diam èt r quelconque 2R ; aux extrémités de ce diamètre si on élève des perpendiculaires pelp' , la droite qui joindra les extrémités de ces perpendiculaires aura pour équation
Et si par le point (af, y) où cette droite rencontre la circonférence on élève sur cette droite une perpendiculaire qui rencontre le diamètre en un point dont l’abscisse inconnue soit « , l’équation tle celte perpendiculaire sera
Il ne reste plus qu’à éliminer x et y entre ces trois équations pour obtenir la valeur de «.
En multipliant entre elles les équations (î) et (3) , on trouve
—py= —
et réduisant à l’aide de l’équation (1) , on obtient Jf(2R— a)=/)ÿ,
d’où
Cette valeur , substituée dans l’équation (2) , donne pour y la valeur
et enfin ' x = — ..
Si l’on substitue ces deux valeurs dans l’équation (1), on trouvera successivement ;
PgR 1
(2R — a)2 = 2R (2R - a)—p{p< — 2Ra -\-pp' — 0 ,
et enfin « (2R — a) = pp'.
D’où l’on voit q^e le rectangle des segmeuts est égal au rectangle des perpendiculaires.
Ce qui fournit un moyen très simple de construire sur une longueur donnée un rectangle équivalent à un rectangle donné.
145. Par un point donné mener une droite telle, que les parties de cette.droite terminées à deux ligues données soient entre elles dans un rapport donné. ^ .
L’origine des axes rectangulaires étant au point de concours des deux droites données (lig. 92 , et l’une d’elles , OX, prise pour axe des x , soient (a, b) les coordonnées du point donné A , A la tangente de l’angle MON , et enfin « l’abscisse du point où la sécante demandée rencontrera l’axe des l’équation de la droite ON sera
y Aor,, ■ (1)
et celle de la sécante AMN ,
or, la partie ^
an = l/r^-aTTCT - et AMr=k(a-«)^ + A";
d’aUleurs les équations (1) et (2), mises sous la forme
(y — ft) = A (a? — a) 4" ^ ’
donnent par un calcul très simple '' '
Si donc - esl le rapporl donné . la condition do problèmo n
AN — m '
