BK

A et B un cercle dont le rayon soit égal à BO = — • les points M et M', où le cercle sera coupé par la droite MHM', parallèle àxVB , seront les sommets des triangles cherchés , AMB , AM'B'.

16i>. Par l’un des sommets d’un losange donné mener une sécante telle , que la partie comprise entre les deux côtés opposés à ce sommet soit égale à une longueur donnée.

On a pris pour axe des abscisses la base inférieure du losange (lig. 121).

L’origine des axes rectangulaires étant placée au sommet donné , A la taugeiite de l’angle de ce sommet AOC , c la base ou fe côté OC = OA ,

A la hauteur AP ,

et enfin « l abscissc du point N où la sécante cherchée

rencontre la base supérieure, on aura '

(1) y = h, équation de cette base supérieure ;

(2) y'= A {x’ — c) , l’autre côté du losange opposé au sommet ;

( 3 ) - Ç , équation de la sécante.

Les coordonnées du point (N) sont x,r= a , y,z=h, et celles du point (M) d’intersection des droites OMN (8) et CB (2), données • par l’élimination entre les équations des deux droites, mises sous la

forme *

' lii

J. Il

'ur 1

sont

kc kc r.

»-=Ât=nr*' ■

Par conséquent, si l représente la longueur donnée, l’équation de

condition

deviendra , par la substitution des valeurs de or, , y, , , y, ,

et, toute réduction faite ,

Telle est l’équation finale qui doit donner les valeur de « ;

celte équation, élant du quatrième degré, ne peut être résolue par les méthodes de la simple analyse.

Voici l’artifice que l’on pourra employer :

L’équation finale (A) peut se mettre sous la forme

mais

Soit fait

K élant une indéterminée ; alors l’équation (A), après l’avoir élevée au carré et réduite en vertu de l’équation (B) , deviendra

Dit - " ' Cj

et ordonnant par rapport à ,

L’équation (B) , développée , peut s’écrire ainsi qu’il suit :

Il est facile *de voir que les derniers termes des équations (M) et (N) sont identiques. En effet

: = OA = c.

AP

' sin AÜP

A=*(l+A2) hr { h y

Il est donc possible de rendre ces mêmes équations (M) et (N) parfaitement identiques entre elles, puisque leur identité ne dépend que de Pégalité des coefficients des seconds termes , c’est-à-dire de l’équation ~

d’où l’on tire

équation qui donnera toujours des valeurs réelles-pour K.

L’équation (A) se trouve ainsi décomposée en deux facteurs égaux du second degré , et le problème est ramené à la construction des racines de ces facteurs , ou de ces facteurs eux-mêmes.

Et d’abord l’équation (B) ,

peut être considérée comme le résultat de l’élimination entre les équatipns

dont la première est l’équation du segment capable de l’autre angle

du losange , dont la tagente est — A , décrit sur la longueur K ; et la seconde , celle de la base supérieure du losange.

Pour déterminer K , ou observera que l’équation (D) peut être regardée comme provenant de l’élimination entre les équations

dont la première représente un cercle , facile à déterminer do grandeur et de position , et la seconde , l’axe des abscisses , ou la b;isc inférieure du losange.

Ce cercle a pour coordonnées du centre

et pour rayon

Le centre est donc au point B , sommet opposé à celui qu’on a pris pour origine , et le rayon est égal à la racine carréeMe la somme des carrés de la diagonale OB et de la longueur donnée , car

üB2 = OP' 2 +P'B 2 z=:[OC+CP'] 24 -piB 2 = •

les valeurs de K seront donc les segments déterminés par le cercle sur la base prise pour axe des X , à partir de l’origine.

Il suit de ce qui' précède cette construction géométrique facile : Du sommet B du losange opposé au sommet donné (fig. 122), et d’un rayon BL égal à la racine carrée de la somme des carrés de la diagonale OB et de la longueur donnée ÜL , décrivez un arc de cercle, qui coupera la base du losange prolongée en deux points E et G. Sur le segéaent OE = K, , situé du côté des abscisses positive^, décrivez un segment capable de l'angle snplémentaire OAB. Les points d’intersection M , M' , de la circonférence et de la base supérieure, détermineront les sécantes OMN, ON'M' , telles, que MJV = N'M' = OL = L

Quant à l’autre valeur de K, — K, , on observera que la première des équations (F) devient

et représente le segment, construit sur la Jongucur K, prise du côté

des abscisses négatives , capable de l’angle dont la tangente est A.

Donc , sur le segment OG décrivez un segment capable* de l’angle AOC. Les points M” , M’" , où ce segment rencontre 1a base supérieure AB , détermineront les deux nouvelles sécantes M”ON’ , ,M’"ON’” , telles, que M”N” =: M”’N’” = l.

On peut entjpre trouver les valeurs des cordes sur lesquelles les segments s’appujent en résolvant l’équation (D), qui donne

et fournit cette nouvelle construction :

Au point O, élevez la perpendiculaire OH = l ; du point P’, pour lequel«=c+^, tirez la ligne P'H, qui sera égale à J/ et enfin du point P' comme centre , et avec ce rayon P'H , décrivez un cercle, qui coupera la base inférieure aux mêmes points G et E trouvés parla première construction.

Il est bien évident que ce problème renferme la solution générale do problème 152.

Si le losange se change en carré , les segments se changent en demi -circonférence , et la construction s’opère comme précédemment (fig. 123).

160. Diviser un triangle quelconque en quatre surftices équivalentes par deux droites perpendiculaires entre elles (Gg. 124).

Soient l’origine des axes rectangulaires à l’un des sommets, O, du triangle, l’axe des X se confondant avec le côté adjacent OB , (h, a) les coordonnées du point A , (0, b) celles du point B, enfin ( a , (3) les coordonnées du point inconnu *lVI où les perpendiculaires se reucontrent, et (0, t) celles du point où l’une d’elles IH coupe le côté OB pris pour axe des x.

Les équations des côtés seront

OB ÿ = 0,