Problemes d'application de l'algebre a la geometrie, avec les solutions developpees traite general des lignes du 1. et du 2. degres Georges Ritt Ligne droite, ellipse, hyperbole, parabole

* 1 ., La géométrie , en tant que science de l’étendue en général , considère les corps matériels sons deux points de vue principaux, l’étendue et la forme. , . *

Elle étudie dans chacun de ces corps le volume, c’est-à-dire la portion de l’espace que le corps occupe , ou , en .d’autres termes, sa grandeur apparente, et qui dépend de l’arrangement des' molécules dont il se compose; la surface, c’est-à-dire la limite extérieure du corps , ce qui le sépare de ce qui n’est pas lui ; et par abstraction la ligne , c’est-à-dire la limite de la surface bu la séparation de deux surfaces ; enfin le point qui termine la ligne ou l’intersection de deux lignes. ,

Elle compare les volumes , les ^rfaces , les lignes , des différents corps entre eux, toutes les fois qu’ils sont de même forme, bu qu’elle peut les y ramener en les supposant divisés en parties assez petites pour que la différence de forme cesse d'tlre sensible. Par cette comparatsou elle rentre dans le domaine de l’arhb-

mctiqu« : aussi l’arithmétique répond-elle le plus souvent dans ce dernier cas par un nombre illimité à cette subdivision à l’infini.

Telle est la mesure de la circonférence et ep {{énéral des surfaces et des volumes des corps qui ne sont pas terminés par des lifpies droites ou par des Airfaces planes, la ligne droite étant la base des unités de mesures géométriques.

Les propriétés de l’étendue, c’est-à-dire tes caractères particuliers qui naissent de sa forme ext^ieure , sont les principes sur lesquels la géométrie se fonde poW évaluer numériquement les éléments des corps eux-mêmes.

Les géomètres anciens avaient soumis au calcul l’étendue sous le point de vue de sa grandeur compara))te ; il était' réservé à , l’analyse moderne de soumettre aussi au calcul la forme de l’étendue , et d’exprimer par une formule algébrique la représentation des lignes et des surfaces par lesquelles la forme des corps se découvre à nous.

Ainsi la géométrie , sous le double rapport d’étendue et de forme , n’est plus qu’une des nombreuses' subdivisions de l’arithmétique universelle’, f ■ ‘ * ,

La forme J’une ligne, d’une surface, dépend de la refation mu-* tuellp tles points entre eux, des lignes entre elles : ainsi la forme d’un f^le est parfaitement déterminée par la définition même de la circonférence , comme la forme d’un cylindrd par le mouvement 9’un rectangle tournant autour d’un de ses Côtés. L’idée de la forme du cercle et celle du cylindre naissent de l’idée d’égalité de distante , que oliaque point de la circonférence , que le côté mobile , conservent par rapport au centre , par rapport an côté fixe. ' '

Il s’agissait donc de déterminer la position dés points! non pas d’une manière absolue , ce qui est impossible , mais d’uné manière relative, ce qui peut se faire de plusieurs manières. '

Parmi les moyens qu’on peut imaginer pour déterminer la position d’un point sur un plan , un des plus simples consiste à le rapporter à deux droites tracées à volonté dans ce plan , au moyen de parallèles menées de ce point à ces droites fixes.

■ Ait^i la’^sitlon du point* M (fig. 1) sera déterminée si l’on t»nhatt Miol^éur des droites MP, MQ, menées du point M aux droites OX , OY, dont la position est déterminée, '

Nous disons dont lâ position est déterminée , car la position du point ne peut être fixée qu’en tant qu’elle est rapportée à quel-

que chose de fixe et de déterminé; et, quoique la position des droites soit ari)ilraire ; le lien de ce-point est connu par rapport à ces droites, ce qui suflit dans les questions de géométrie , dans lesquelles on a pour objet de déterminer seulement des relations mutuelles de points , de ligues et de surfaces.

Si l’on sait, par exemple, que l’une des parallèles MQ a 3 mètres de longueur, et MP 2 mètres , à cause de MQ = OP , MP = OQ , on prendra sur OX une longueur OP égale à 3 mètres, sur OY une longueur OQ égale à 2 mètres , et menant par les points P et Q des parallèles aux droites OY, OX , le point d’intersection M de ces parallèles sera complètement déterminé, car il n’y aura qu’un point qui satisfera à ces conditions.

On peut encore , après avoir pris OP égale à 3 mètres , mener* par le point P, parallèlement à OY, une droite sur laquelle on prendra une longueur égale à 2 vnèlnes, et le point M sera déterminé.

On pourra faireune construction analoguesur l'autre droite OY.

La distance OP s’appelle X'abtoiise du point M, OQ X ordonnée : l’abscisse et l’ordonnée du poiut M sont les coordonnée* de çe point. O se nomme ï'prigine des coordonnées , et les -droites fixes OX, OY, les axes de* coordonnée* ou plus simplement^ axe* coordonné* iQ\Xü\& des abscisses, OY l’axe des ordognée%

On voit qu’il n’est aucun point du plan dont on ne puisse ainsi déterminer la position lorsqu’on connaîtra les coordonnées de ce point : pour cela il suffira de convenir que , si l’on regarde comme positives les abscisses prises de O vers X et les ordonnées de O vers Y, les abscisses et les ordonnées prises dans un autre sens , c’est-à-dire de O vers X' et Y' , seront considérées comme négatives.

X désignant généralement l’abscisse d’un point et y son ordonnée , il résulte de ces conventions qu’un point pour lequel

X est positif et y positif se trouve dans l’angle YOX ;

X est négatif et y positif ^ dans l’angle YOX' ;

X est négatif et y négatif ' dans l’apgle Y'OX' ;•

X est positif et y négatif , dans l’angle Y'OX.

Ainsi pour déterminer le point dont les coordonnées sont ar = — 4 ,

on prendra sur OX' une longûèur égale à U fois rnaité de I<»h> gueur,- sur QY' & fois Tunité de longueur, et les deux parallèles anit axes menées par les extrémités de l'abscisse et de l’ordoufiée déterqiineront le point demandé dans l’angle Y'OX'. . - > .

Il est facile de voir que • , ■ - - ■

' Tout point dont l'ordonnée est nulle se trouve sur l'axe des abscisses , tou^ point dont rabscisse est nulle est sur l’axe des ordonnées, et enfin, pour l'origine, l'abscisse et l’ordonnée sont toutes deux nulles. . •

8. Supposons maintenant qu’une ligne droite oü conrbe soit tracée dans un plan , et qu’en rapportant chacun des points de cette ligne à des axes quelconques , on ait trouvé une relation ‘constante entre l’abscisse et l’ordonnée ; par exemple , pour prendre un casbien simple, supposons que l’ordonnée de chaque point d'une ligne soit .égale à l’abscisse, on pourra exprimer celle relation par l’équation

De' même, si l’oii trouvait que les coordonnées de chacun des ppints d’une autre ligne tracée sur un plan , rapport^ à deux ^ axes , sont telles que l’ordonnée soit constamment égale an carré ' de l’abscisse correspondante , on exprimerait cette relation par l’équation ' . •

Ces équations , y=ix , y — , sont dites les équations deè lignes qu’elles représentent. > f

En général on apprile équation d’nne ligne l'équation qnl exprime la relation constante entre l’abscisse et l'ordonnée de t^acun des ^ints de cette ligne.

5. Réciproquement , x et y désignant l’abscisse et l’ordonnée d’un point quelconque, rapportées à des axes donnés de position dans un plan , tome relation^ F (a? , ÿ) = 0 entre ces deux inconnues , quel- que soit le degré de celte équation', représente une suite continue des points situés dans le même plan. En effél, si l’on suppose l’équation résolue par rapport à l’une des variai blés, ^ par exemple,

comme à une valeur donnée arbitrairement 5 x répondent toujours une ou plusieurs valeurs de et qu’en donnant à tr>louies les valeurs qu’on voudra , on trouvera pour y des valeurs cor-

Digilized I

respandantes, si l’on -construit chacune de ces couples de valeurs particulières de x et y, on obtiendra autant de points déterminés; et , on rapprochant convenablement les intervalles entre les valeurs particulières attribuées à ôr , on parviendra à connaître autant de points qu’on voudra et qu’on réunira par une ligne continue. Cette ligne s’appelle le lieu géométrique de l’équation • • , F(4?, y) =: 0.