MN

PQ... 2Ay — — 2 P (rf—

en ayant égard à la condition de simiUtnde

Retranchant maintenant les deux équations (4) et (6) l’une de l’autre, on obtient

sgd, — ^d2-B*+B«=0î («î

d ou »=2 H 25 ; .

et à cause de d’où (B* — B^ A* — A'* ,

A* — A« 2rf .»

abscisse du point de rencontre H des cordes de section MN,>PQ.

Or, cette expression étant indépendante des coordonnées do centre de la troisième ellipse et des diamètres conjugués de celte courbe , il en résulte qu’elle sera la môme quelle que ■oit la u^sième ellipse, pourvu qu’elle soit semblable aux deux premières et semblablement située.

-De là ee théorème :

THÉORtOIE.

Si deux ellipses semblables semblablement Sitaées sont coupées par une tr<HatéaeeUipse, les cordes de seedoo se coopereotsisr «ne méoMUgae droite, parai- Itli au diaioètie conjugué de nelui qui passe par les centres dea detMt pMBièMS»

Quant à la position de cette droite, elle est très à dé-

terminer. En effet , reprenant les équations' (7) et (8) du n® 320 ' on a , en prenant d’abord les signes supérieurs ,

d’où X> + ar> = rf+^-^.'?

et X' + g* d , A* — A'2

2 ■^2'*” 2rf

En prenant les signes inférieurs , on aurait de même

Vf A (A»|~A'j d '

d'où

ét

donc

X' + ^=^.. + (A--AO(A + AO, a^-a>»

t^te droite passe à-égale distance des polaires, auxqaelies elle est en meme temps parallèle.

Elle a reçu pour celte raison le nom de dithomologue , qui rappelle sa propriété d’être deux fois homologue ; on lui donne quelquefois ausi le nom d’are radical.

Si les ellipses sont remplacées 'par d^ cercles, la dishomo* logue est perpendiculaire à la droite des centres.

, S24. Généralement on déterminera la dishomologue de deux ellipses semblables et semblablement placées , soit en les coupant par une troisième ellipse de même espèce, et, par le point d’intersection des deux coites de section , menant une droite parallèle aux polaires ; soit en construisant les deux polaires d’un centre de similitude , et menant une parallèle à égale distance de ces deux droites.

Si les ellipses se coupent , la dishomologue est la corde de section ; si elles sont tangentes , la dishomologue est la tangente eUe-méme. i - , . , .

THÉORÈME

, 53Ü. Les trois dUhomologues de trois ellipses semblables et semblabiemea t

situées se coupent en un seul et même point.

Soient

ifi2 ^ B'* (* — o')2 = A«B'2 ,

A»2 (y — A')* + B»2 (jj a»)2 r= A'^B»*,

les équations des trois ellipses rapportées à leurs axes principaux , parallèles aux axes des coordonnées.

Ces équations prennent la forme

retranchant successivement ces trois équations l’une de l’autre , on obtient

—{b — — A**) —p [2 (fl — o*)x+o^ — 0*2]— (B^ — B»2)=0, (2) — (A'-A»)rf(i'^i'Vp[2(o'-«*)«^o'2-a*2]-(B'2-B»2)=aO.C3i

Deux quelconques de ces trois équations comportant la troisième, il s’ensuit que les trois droites (1), (2), (3), concourent au même point , lors même que les ellipses n’auraient aucun point commua.

. De là ce théorème. -,

THÉORÈME

Si trms ellipses semblables et semblablement situées se imupent deux à deux , les trois cordes de section concourent en un même point.

, Remarque. Les résultats de la discussion précédente , appliqués aux cercles , fournissent la solution du problème ;

' Déoire un cercle tangent à trois cercles donnés,

dont la solation a été développée dans la première partie. * ■ ‘

SSt6. Inaaire dans nn parallélograrame donni aae dUpse d’aspine donnée « c'est-à-diie semblable à une elUpse donnée.

Le rapport des axes de l’ellipse demandée, et par conséquent le rapport des diamètres conjugués dirigés suivant les diago> nales du parallélogramme étant donné , le problème sera ramené à un des problèmes précédents (SàO).

8a7. Décrire une elUpse semblable & nne elUpse donnée, et équivalente à ta somme on à la diflérence de deux ellipses données.

arety étant les demi-axes de l’ellipse semblable, a, è,et a', des deux autres , on aura les équations

teyzaahàz a'b>, (1)

ÿ“Bi

d’où l’on déduira ar et y.

Si les ellipses sont tontes semblables, les équations seront

I..-, 3S8, Par deox pqints donnés ftire passer nne courbe du 1* degré (elHpsenti b/perbole) d’espèce donnée, et qui ait son foyer en un pmnt donné.

Soient A , B, F (fig. 1 36) , les points et le foyer donnés. La courbe étant donnée d’espèce, le rapport des distances de chacun dés points au foyer et à la directrice sera donné : désignant donc ce

rapport des points A et B comme centres, et avec des

rayons AT, BT', égaux à— AF, —BF, on décrira des cercles, auxtn tn ^

quels on mènera la tangente commune TT , qui sera la directrice dn foyer; on abaissera snr TT' la perpendicnlaire FP, et

I j ' • . I oF m o'F m

les deux pomts a, a', sur FP , tels que ^ ^

ront lef somnaets , et tons ^ élëmeou seront déterraiBés.

530. Décrire ane courbe du 3* degré d'espèce donnée, ellipse oa byperbolei tangente & deux droites données , et a jant pour foyer un point donné.

Par le foyer donné F (fig. 137) abaissez sur MN, PQ, les perpendiculaires FI , FH ; et prenez IG = IF, HL=: HF.

En supposant que F' soit le second foyer inconnu , on aura F'G = F'L, égal au grand axe ou à l’axe transverse ; par conséquent menant GL, et du point 0, milieu de GL, élevant une perpendiculaire OF' , le foyer F' devra se trouver sur celte droite. De plus , le point F' étant distant du point G d’une longueur égale au grand axe ou à l’axe transverse , et du point F d’une longueur égale à la distance des foyers , le point F' sera un des points tels que leurs distances à deux points donnés soient dans le rapport de deux longueurs; et la courbe cherchée étant semblable à une courbe donnée , le rapport du grand axe à la

distance des foyers est connu. Donc, désignant par — le rapport du grand axe à la distance des foyers , cherchez sur GF les deux points R et S tels que ^ ^ , et sur RS

décrivez un cercle , qui coupera OF' au point F', second foyer.

Connaissant les deux foyers, on déterminera facilement le grand axe ou l’axe transverse.

550. Décrire une ellipM on nne hyperbole d'espèce donnée, tangente à une droite donnée, passant par un point donné , et ayant son foyer en un point donné.

Soient F, A» MN (fig. 188), le foyer, le point et la tangente donnés. Par le point F abaissez sur MN la perpendiculaire FP , prenez PH = FP , et joignez HA. En supposant le problème résolu , soit F' le second foyer de la courbe demandée ; menez FG telle que F'FG = HFA , et F'G telle que FF'G s= FHA. Le triangle FF'G sera semblable à HFA , et le triangle FGA au triangle HFf ', comme ayant un angle égal GFA = HFF' compris cntPe deux côtés proportionnela , par suite de la similitude des deax premiers triangles.

Cela posé, soient abo la courbe senciblable, /j /', les fo3rers. Il sera facile de déterminer sur cette courbe la position du point a, bomologue à A. En effet, sur /p, homologue à FF* et àFH, «owtruieex le triangle ff'ff, senÛPible à FF'G, etpar conséquent

Di.^ : >-i

à HFA, en faisant anx points les angles ffg^Wk, et fpg =: FHA, Si les points a homologne à A et A homologue à H étaient connus , fh devrait être égal à t’axe he de la courbe , et le triangle fga semblable à hff' , et par conséquent à HFF et à GFA : on aura donc les rapports égaux

ga ^ fa FA