Outre cette similitude absolue, on a encore à consi
dérer la simililude de position de deux courbes r ainsi par exemple , l’ellipse Mma} ( fig. 132 ) peut être supposée transportée en omn dans le plan de l’ellipse AMa , de manière que ses axes restent parallèles aux axes de celle-ci. On dit alors que ces deux ellipses sont semblables et semblablement situées.
Il est facile de voir que les rayons vecteurs , qui d’abord coïncidaient , sont maintenant dans des directions parallèles ; mais il est évident aussi que les mêmes rapports entre les éléments homologues subsistent toujours , en désignant toujours par ce mot les éléments correspondants aux points homologues, c’est - à - dire tels que les coordonnées rapportées au point O pour l’une, et au point o pour l’autre , soient constamment dans le même rapport de similitude. On conçoit que le centre de similitude peut être un tout autre point que le centre de la courbe. Le rapport constant des éléments homologues s’appelle le coefficient de similitude.
L’ellipse étant située dans une autre position, telle que o'm'n', de manière que les axes, et en général deux diamètres conjugués, ne soient pas parallèlesauxaxeset auxdiamètres conjugués homologues de l’ellipse AMffl , ces deux courbes ne sont plus semblablement situées , sans cesser pour cela évidemment d’être semblables ; en général le parallélisme entre les éléments homologues cesse d’exister; mais le rapport de ces éléments entre eux, relativement à deux centres de similitude homologues, subsiste toujours , ainsi que les principes généraux de similitude absolue énoncés précédemment.
517. En théorie générale, on peut se proposer le problème suivant ;
Étant donnée une courbe f(»,y)=» 0 (1), trouver Téquatlon 'générale des courbes semblables et semblablement situées.
Le centre de similitude de la courbe (1) éiantà l'origine des axes coordonnés, si a et  sont les coordonnées du centre de similitude d’une courbe quelconque semblable et semblablement située à (1) , il faut et il suffit que les rayons vecteurs ipenés du centre de similitude aux points homologues soient constamment dans le même rapport , et pour cela les coordonnées doivent elles-mêmes être dans ce même rapport.
On aura par conséquent . ‘ .
SS * = * . coefficient de similitude
et, & cause de ys=ar— o, ^ssy — i,
t, , j»=i(ar— a), ys=*(ÿ— i):
donc f équation — a),k{y — î)]=0 ' (2)
représentera toutes les courbes sembables à (1) et semblablement situées.
On pourrait se proposer le problème général de trouver l’équation générale des courbes semblables à une courbe proposée (1). Pour cela, il faudrait avoir égard à la fois à la posit ion des centres de similitude et à l’inclinaison des axes de l'une par rapport aux axes homologues de l’autre , à l’aide des formules comme pour la transformation des coordonnées. 11 nous suffira d’avoir indiqué la méthode pour mettre le lecteur sur la voie.
THÉORËMB.
»^U8. Deux eoarbe* d«nit te« équations du même de|p>é et homo{;êBe3 sont des mtmes fonetioiis da coordonnées, et ne oootienDent qu’one sente eonatanle, sont des courbes semblables ; etsi, les coordonnées étant rapportées an même point,, ce point est un centre commun de nmilitude, les courbes sont semblablement
placées.
Soient F(at, y,p)=0, . (1)
les équations de ces courbes.
L’équation générale des courbes semblables à (1) , et ayant même centre de similitude , sera , d’après ce qui précède ,
k étant un coefficient indéterminé.
Or , pour que cette équation (.1) devienne idmitique à Téquation (2) , il suffit de poser p = ip' , ce qui donne
F (^kx , iy, kpf ) =0, (4)
Si m représente le degré de l’équation , le facteur sera commun à tous ses termes, et , divisant par ce facteur, on trouvera l’équation (2).
Donc deux cercles , deux paraboles quelconques, sont des courbes semblables.
Et de plus , les diamètres conjugués des cercles étant toujours
perpejtdîealikiras entre eux et réciproquement , on peut dire que deux circonférences sont des courbes semblables et umhlahlement plaeeet, ce qui n’est pas également vrai pour deux paraboles > qui peuvent n’avoir pas entre elles une similitude de position.
S19. Détermioer les conditions auxquelles doivent satisfaire les coefficients de deux équations générales du S* degré
Bxy -f- C®* Dy Eat F ~ 0 ^ fl)
A'y* -j- -4* 4" E'jf-}- F = 0 , (2)
pour que les oomtes qu'eUes représentent soient segaMableset semMsMement il tuées.
On substituera dans la première A («->«) et A (x — A) à «et y, et on rendra l'équation résultante identique avec l’équation (2) i ce qui donnera , entre autres équations de condition,
c’esb4tdire que les coefBcimtts des termes du deuxième degré doivent être dans le même rapport.
^pplicaiionêt
S90, Étant données deux ellipses semblables et semblablement situées , me ner une tangente commune à ces deux courbes.
Soient A»Y» + = A^B» , , (1)
les éqbations des deux ellipses rapportées à des diamètres con* Jngués homologues , l’origine des axes étant au centre de la première et l’axe des « passant par le centre de la seconde. Les deux autres diamètres conjugués sont évidemment parallèles.
Les équations des tangentes aux points X', Y', de la première ellipse , y* , , de la seconde , seront
' A*YY' + B^XX' z= A*B», A' W + B'» (« - («> - d) =;; A“B«î
Pour exprimâ* que les tangentes (3) et (&) se confondent , il •nfllt d’égaler identiquement les coefficients, ce qui donne • - • B*X' B'2 (aH - rf)
B2 A«B'* + B'^(ar'-iO</
Y' ~ A'Vl ‘ ^
Divisant ces équations membre à membre , on trouve
JT a ■ ■ ■ -■
i- A'^ — dX"
substituant celle valeur dans l’équation (5) , on aura
^ A^B'îY'
. , f . ÎT — Bi‘X'(A=*-:rfX') ’ ' •
'substituant enfin les valeurs de æ' — d et de y dps l’équation
J^<2y,2 ^ g, 2 jj 2 ^,2g,2 ^
on trouvera A*B'*X’^ + B*A“ or'» = (A* — dX') *B*.
Or , ies.deux courbes étant semblables , les diamètres homologues sont proportionnels c’est-à-dire qu'on a
. J’oùA*B« = B»A’S
et l’équation précédente donne , en vertu de l’équation (1) ,
, Si l’on substitue cette valeur de X' dans la valeur précédente ' de — <i, on trouvera
se' — dz
.A'(A=pA0
Les.équaiions (7) et (8) ne sont autre chose que les équations des cordes de contact des quatre tangentes communes qu'on peut mener généralement aux deux ellipses. «
Enfin, pour déterminer le point de l’axe des œ où la tangente commune vient le rencontrer, 'il faut, après avoir faitY=(> dans l’équation (3), remplacer X' par sa valeur dans l’expression
'ce qui donne,. ,
ottjàcattse de la condition de similitude ,
Cette relation étant indépendante de l’angle des diamètres ; on en conclut cette construction bien simple :
Par le centre O de la première ellipse (fig. 134) menez un diamètre DE, et par le centre* O' de la seconde un diamètre parallèle D'E', joignez directement et réciproquement les extrémités de ces diamètres , et les points de rencontre C et C des deux droites de jonction seront les points où les tangentes communes aux deux ellipses rencontreront la ligne des centres.
On reconnaîtra facilement ,que ces points sont les centres de similitude des deux courbes , C le centre de similitude externe , C' le centre de similitude interne.
Les cordes de contact (7) et (8) sont les polaires correspondantes. .
Si les ellipses sont égales , il tfy aura qu’un centre de similitude interne.
Deux cercles pouvant être considérés comme deux ellipses semblables et semblablement placées, les mêmes relations ont lieu encore, et les centres de similitude externe et interne ont pour abscisses
r et r* étant les rayons. ' ^
Et les équations des polaires correspondantes sont
THÉORÈME. '
581. Deux ellipses semblables et semblablémenl rituées ne peuvent avoir plo» de deux peints communs.
En effet, AV -j- B V =s A*B*, > W
étant les équations de ces courbes, on obtiendra facilement pour la corde de section la seule équation - . ^
las points d’intersection des deux ellipses étant situés sur une seule droite , ces deux courbes n’ont que deux points communs. On tire de l’équation (3)
y = lî ,
-Or ;la droite qui joint les centres* des deux ellipses a .pour équation
yt=-ar. ‘ - (4)
On voit que la corde de section (3) est conjuguée à ta ligne 'des centres : en effet | sa mulipliant les coefficients de », on
trouve pour produit — relation connue des droite et des diamètres conjugués. ’ ' ’ '
Si les ellipses sont des cercles, la corde de section est |>erpwdiculaire à la ligne des centres.
TrouTer les cooditicas de tangence de deux elliÿtes semblables et sem- ' Uàblement situées.
On peut conclure du théorème précédent que le point de contatc est sur la ligne des centres , et que la distance des centres doit être égale à la somme ou à la différence des demi-diamètres conjugués à la tangente commune ; le calcul met d’ailleurs ces résultats en évidence. /
Lorsqu’il s’agit de deux cercles tangents , comme tous les diamètres sont égaux dans chacun des cercles , il s’ensuit que la distance des centres doit être égale à la somme ou à la différence des rayons, selon que les cercles se touchent extérîeu- . rement, ou intérieurement.
595. Les données étant les mêmes qu’au numéro précédent, supposons qu’une troisième ellipse O", semblable et semblableblement placée , vienne A rencontrer les deux ellipses données O, O' , U sera fecile de déterminer les cordes de sectionMN, PQ,
•<fig. ■- . ...
£a effet, les équations des tPeiscoarbM sent "*
Ay+BVnsAîRS
0 et 3 étant les coordonnées du centre de la troisième ellipse.
Retranchant successivement l’équation (3) de chacune des deux premières, on trouvera sans difficulté, pour les équations demandées ,
