DES SECTIONS DU CONE ET DU CYLINDRE PAR UN PLAN

551. Si une droite indéfinie SG (fig. 139) tourne autour d’une droite fixe SA , sans cesser de passer, par un même point S de cette ligne , et de faire avec elle le même angle GSA , la surface engendrée par ce mouvement de la droite mobile est un cène droit , surface illimitée de chaque côté du point S , centre ouvomme^ducône, et telle, que toute section par un plan passant par la droite fixe ou axe SA donne deux droites SG , SG', qui ne sont autre chose que deux positions particulières de la droite mobile ou de la génératrice lSG; et toute section par un plan per-

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pendicnlaire à Taxe, conpant toutes les génératrices à égale distance du sommet , donne un cercle.

Il s’agit de déterminer la nature de la section que l’on obtient en coupant le c6ne par un plan dirigé d’une manière quelconque, laquelle section sera généralement une courbe , à cause de la courbure de la surface.

Soit MON une section du cône par un plan. Menons par l’ax^' perpendiculairement à ce plan sécant, un nouveau plan, qui coupera le cône suivant deux génératrices opposées SG, SG', et le plan sécant suivant une droite OX.

SoitSO = ef, SOX=a, ASO=^, angle constant : il est évident que la direction du plan sécant sera déterminée lorsque delà seront connus.

Cela posé , il s’agit de chercher une relation entre les coordonnées d’un point quelconque de la courbe MON , et les quantités d, a, Py lesquelles coordonnés seront rapportées pour plus de simplicité à la droite déterminée OX , comme axe des abscisses , et à l’axe OY, perpendiculaire à OX dans le plan de la section.

; Soit donc M un point de la section, et, abaissant MP perpendiculaire sur OX, faisons OP = a? , MP = y. L’ordonnée MP , étant contenue dans le plan MON, perpendiculaire à GSG', et , de plus , étant perpendiculaire à OX, doit être aussi perpendiculaire an plan GSG'. Si l’on mène donc suivant MP u»plan perpendiculaire à l’axe SA , ce nouveau plan coupera le plan GSG' suivant une droite EF , perpendiculaire à la fois à l’axe SA et à MP, et le cône suivant un cercle EMF. On aura donc , d’après la propriété du cercle ,

MP2 = yï=EPXPF. ■ " .

Or le triangle OPE donne

EP sinPOE ÔP “ sin PEO ^

et à cause de sin POE = sin (200° — a) = sin « , sin PEO = cos ESA' =cosp; sin a

on trouve EP = r-

Menons OC parallèle à EF , et PHI parallèle à SF : on aura PF =: HC = OC — OH } et le triangle OPH donnera i

OH sinOPB

ÔF^mdOHF

Or

•inOPRsatin [289^(POI+PIO)>=8iB |2M*(«42iî)]-3rfa(H-2|») et sinOHP c= sin PHC=sin SCO = cos CSA=:co8^,