COS

Sofia H dans le triangle rectangle SOG ,

OG= |0C = rfsinj3, tfoà OC = 2(j sin ^ ;

et , par ronséqaent , remplaçant £P et FF par leurs valeurs , on obtiendra pour r.équation de la courbe MOI7

, idiitiK sin jS sin a sin (a 4- 2jS) ,

' cosfl cos^ô ' ^

Donc

Les sections du cAne par un plan sont des courbes du 9* degré.

Ceat pour cette raison qu’on donne quelquefois aux courbes du deuxième degré le nom de eoniqutt, nom trop exclusif, puis- (pi’il existe d’autres surfaces dont les sections par des plans sont aussi des courbes du deuxième degré.

558v U s’agit de faire voir maintenant que toute courbe do deuxième degré peut être donnée par l’intersection d’un cène droit déterminé et d’un plan dans une position aussi détCT' minée dans chaque cas particulier. Pour cela il suffit de dé* mon^r que l’équation (C) peut être rendue identique avec l’équation

y=2^>x-f-çrx», (A)

qui représente les trois genres de courbes du deuxième degré.

On aura donc les deux équations

dsinasinjS ...

sin « sin (a -f* ip) CXitTf

Changeant dans la seconde équation le produit de deux sinus en la différence de deux cosinus , d’api^ là formule trigonométrique

4 sin à sin A =: cos (a i) — C08 ( a-f- i ) ,'

• ’ .• / Li.os COS 26— 'cos (2i 4- 261 on aura sin « sia (« + 2^) c= • — »

et , par conséquent , les deux équations de condition seront • sm«’- , ^

cos (2« + 2|3) =çqs 2p + ços=»p,, ^ ^ ^ , .

et à cause de cos 2p = cos *(3 -r sin . , , . .

cos (2a -{- 2^ = 2 (1 cos *— 1 . • (ft)

L’équation (3) montre que sera réël quand a le sera.

Si l’équation (A) représente une ellipse , y est négatif et plus petit qué l’unité : par conséquent cos (2a -J- 2|S) (U) est compris entre -f- 1 et — 1 , donc l’angle 2a -J- 2^ est réel , et par suite « l’est aussi. ^ ^ .

Donc on peut toujours couper un cdne drok suivant une ellipse donnée.

SSS. Pour l’hyperbole , 7 est positif et peut avoir toutes les valeurs possibles. Tant que cos (2a + 2(3) sera négatif, et alorg sa valeur sera < 1 , l’angle 2a + 2|S sera réel , et par suite a le sera aussi j mais si cos (2a + 2^) est positif, il faut que l’on ait cos (2a 4- sp) < 1 , et par conséquent " *. "

:: r.;l. . ,2,d +9)cos 1*< i'; ' : . ;

Pour interpréter ce résultat on se souviendra que ^ A et B étant les denû*axes de l’hypçrbûle, et par suite, ,

• ^ cos P <7^.^,—^ . '■ ■ • ••

Or on sait qne l’angle 6 'qUe les asymptotes font avec l’axe des ar’ a pour expression de sa tangente 'MHor t;l \< ■ . *

tang'Ô = i-5,

jn îf: xio • >.'»!/;'!;• •; i 'ijio/ r.-’

d’où ' CQ8,0 .*.v A f.

Donc il faut que cos ^ < cos 6 , et par conséquent |S > 9 , ou 2|3 > 29 } c’est-à-dire que, pour placer une hyperbole donnée sur un cône droit déterminé , il faut que l’angle du cône soit au moins égal à celui des asymptotes.

'lotM; ■ ,

554. Enfin , pour la parabole , on a y = 0 , et l’équaüoo (2) donne sin a = 0 , ou sin (a-J- 2^) = 0.

La première valeur n’est pas admissible, puisqu’on aurait (1)

= 0 , et la parabole n’existerait pas.

,La seconde sin (« 2^)= 0 montre que l’on doit avoir •

« -j- 2^ =: 0 , ou « -|- 2^ = 200°.

La première peut être négligée , a serait négatif ; quant à la deuxième , elle montre que OX est à la génératrice SG.

Donc toute parabole peut être placée sur un cône droit déterminé.