MP =AP
— èll —
d’où y = M'Q = ^. MP=MP .
Ainsi, on transportera une ligne droite du premier système dans le second en déterminant la position correspondante de deux points de cette droite; et en général on changera une courbe RMS en un autre R'M'S', en la transportant ainsi point par point d’un système dans l’autre.
Réciproquement la position d’un point M' {x' = O'Q, y — M'Q) étant déterminée dans le second système , enjoindra AQ , ce qui déterminera AP = a? , abscisse du point correspondant dans le premier système; puis, menant PM , parallèle à OA , et prenant
PM ", le point M sera déterminé de position par
rapport à ce système.
Telle est à peu près la méthode indiquée par Newton dans ses Principes mathématiques de philosophie naturelle (*) , d’où nous avons extrait quelques uns des problèmes qui précèdent, ainsi que les deux suivants , qui serviront d’application à cette théorie.
366. Décrire une courbe du 2* degré passant par deux points donnés et tan* gente S trois droites données.
Soient IS, IT, SR (fig. 161), les tangentes données, M et N les points donnés. Prenons pour axe des ordonnées la droite passant par le point de concours de deux tangentes quelconques et le point de concours de la troisième tangente et de la droite qui joint les deux points donnés , HI par exemple. Menons une droite quelconque OX, et après avoir pris à volonté sur OY et OX des longueurs arbitraires OB , OR , achevons le parallélogramme OBO'R; puis transportons dans le système O'A, O'B, ainsi qu’il a été indiqué précédemment, les tangentes et les droites do^nnées. Dans la Ggure transformée, les tangentes IT, IS , deviendront parallèles entre elles, ainsi que la tangente HR et la droite MN (363) , et l’on aura par conséquent un parai* lélogramme fig. 152 ) tel, que la courbe transformée devra être tangente aux côtés ih , ik , kl, et passer par les deux points a et £ correspondants aux points donnés M et N.
(*) Pkilosophiee naturalü prineipia mathtmatiea, sect. IT, lemma xxn ! Figuras in alias sjusdetn generis figui^ mutare.
Or, d’après les propriétés des segments , si 0 , <2, 0, sont les points de contact, onaura la snilede rapports égaux (293), (295),
hc
ic^
ha . hb
itP
Ji-A. •
'he 0/
« ^ ha . hb
id
dk yib .la'
et par conséquent =
' hc ”|- te hc — j- cl
hi -4" kl
(/Ao . hb + frf + Ad + K/A . /a ‘ i/Aa . AA + A* 4. K» • la.
Les points de contact 0, </, 0, étant déterminés, on lesrepordans le premier système , et le problème reviendra à fair^ passer une courbe du 2* degré par cinq points donnés.
567. Décrire une courbe du 3* ^tegré passant par un point d<»mé et tangente à quatre droites données.
Soient HT, HS , IT, IS , et M (Bg. 158) , quatre tangentes et le point donné. Prenant pour axe des ordonnées la droite IH passant par les points de concours des quatre tangentes deux A deux , ' changez la figure |en une autre de même -genre: les tangentes concourantes deviendront parallèles , et la figure nouvelle offrira un parallélogramme tel que ihkl (fig. 156) , le point a correspondant au point donné M dans la figure primitive. Le tre Ode la cotirbe tangente aux quatre côtés du parallélogramme étant déterminé , en mènera la droite oa, sur laquelle on prendra aA 3 a ; et , après avoir reporté le point B sur la figure premiè- >e , on.sera ramené au problème précédent.
‘ Toutefois , on doit remarquer que ces méthodes , très ingénieuses sans doute, ne sont pas d’une grande utilité dans la pratique, à cause ^s erreurs que ces nombreuses constructions graphiques ' ne peuvent manquer d’occasionner : il sera donc préférable, ainsi qu’il a été dit précédemment, de ramener le problème graphique à un problème numérique, en rapportant les lignes et les pointe à un système d’axes convenable , et opérant sur les équations obtenues d’après les procédés et les règles exposés dans les divers parties de ce traité.
