Supposons a = 2 , r = 2 , Féqnation (D) donnera

f ' 8 4- cos 2m . 1 , ii-M. , • “î

f> = — -î-j =fc jK(^+cosaM)2,-45 ,

cos 3m :

Dans celle hypothèse, la perpendiculaire AP devient. valeur plus petite que 2 ; donc la courbe développée se compo-

sera de deux parties. On peut vériGer ce résultat en observant que la valeur de p ne peut être imaginaire pour aucune valeur de cos 3a> , lequel étant au plus égal t — 1 , le radical sera toujours réel , et la valeur de p sera double pour chaque valeur de cos 3u.

Occupons-nous actuellement de construire la courbe développée.

D’abord il est facile de voir que le cône proposé se développera suivant un secteur dont Fangle au sommet sera les ^ d’un angle droit.

En effet , l’arc de ce secteur sera équivalent à la circonférence CFC' = 2irR , R étant le rayon de la base du cône. En désignant donc par A l’angle du sommet du secteur , et par c le côté du cône , on aura la relation

A 2jtR R ,

et, d’après l’énoncé ,

Donc, sj d’un rayon égal au côté du cône on décrit une circonférence S (Gg. 149), et qu’on divise cette ciconférence en trois parties égales aux points C , D , E , chacun des secteurs SCD', SDE , SEC , répondra au développement du cône , et la courbe sera symétrique dans chacun de ces secteurs : il suffira donc de construire la partie de la courbe comprise dans l’un d’eux, par exemple dans le secteur SCD, développement du cône donné.

Soit SC , génératrice du point donné A , l’axe Gxe sur lequel doivent être comptés les angles.

Si l’on fait cos Su = 1 dans l’équation (1) , d’où » 0 ,

on obtient p=-±- = 8d:2,

d’où f. = 5, p.= l.

Prenant donc, sur SC , Sa == 1, SA = 5, les pointa a, A , seront deux points de la courbe.

En faisant décroître cos Su, c’est-à-dire à mesure que u augmente, la valeur de p, diminue et celle de />. augmente, p, correspondant au signe -j- du radical , p, au signe — .

Pour C08 8» = — 1 , d’où 8u = aGO*! » “ — ~î“>

«Dtre de l’hexagone régulier, ôn a

œ sont la plus petite' et la plus grande valeurs des rayons vec*teurs. , >

Prenant donc, sur le prolongement de £S , S£ = | , SB =: 3 ,

les points h et B seront deux nouveaux points de la courbe.

. lût courbe, étant évidemment symétrique par rapport à la droite SU, sera donc complètement déterminée : elle se compose des deux branches aba' , ABA' , qui sont le déloppement de la courbe tracée siu* lu surface du cène, quoique l’équation (1) donne la courbe entière composée de trois parties symétriques relatives à chaque secteur.

COORDONNÉES .NEUTONIENNES.

SGI. Ou a vu préçéétemment (11) que , les formules detraasformation des coordonnées rectilignes étant de la forme . .

HJ ','1. •! Çr* , ■ '

•. Tfj r. -

les. équations transformées par. la substitution de ces valeurs çopservent le même degré qu’elles avaient primitivement, et que l’on peut disposer des constantes arbitraires qui entrent dans ces formules afin d’obtenir des équations plus simples qui fassent reconnaître plus promptemeut le genre. et l’e^tèce du lieu géométrique qu’elles représentent, le lieu géométrique étant exactement le même , soit qu’on le rapporte au premier système des coordonnées , soit qu’on le rapporte au second. , Supposons maintenant qu'on ait deux systèmes de coordonnées rectilignes à axes parallèles, de telle sorte que chaque point du premier système soit lié au point correspondant du second par les relations

mn my’ >

m et n étant4es constantes wbitraires. ■ i

Il est évident que la subslitulion de ces valeurs dans unè équation quelconque

F (ar, j)=0

n’altérera pas le degré de celte équation. En effet , si o -{- 4 représente ce degré , la transformée

contiendra au plus en dénominateur le facteur et chas-

sant les dénominateurs , en multipliant tous les termes par ce facteur , la transformée en x’ et y' sera du même degré O -f- 4.

Soit/‘(ar', j’)=0 une équation entre les coordonnées nouvelles ; si l’oq veut repasser de ce nouveau système au système primitif , un substituera dans cette équation les valeurs^

, mn , ny

tirées des équations (1), et l’équation . • ■ ' “

Kx”. ¥)=«

sera la relation entre les coordonnées du premier système.

562. Ainsi que dans les transformations des coordonnées rectilignes ordinaires , dans cette transformation nouvelle chaque point d’une figure géométrique , rapportée à un quelconque des deux systèmes a pour correspondant dans l’autre ua point déterminé par les relations (1) et (2) ;de sorte que, si deux points de la flgure dans le premier système se réunissent et se confondent en un seul , les deux points correspondants dans le second se réuniront et se confondront pareillement : d’où il résulte qu’une ligne droite tangente à une courbe en un point du premier système a pour correspondante une droite tangente à la U'ansformée en un point correspondant dans le second.

566. Mais outre ces rapports et ces avantages communs à tous les systèmes de transformation de coordonnées i celui - ci présente des avantages particulici's , qui sont la conséquence de la relation établie entre les coordonnées. On voit en effet par les formules (2) que , pour = 0 , ar* et y deviennent infinis. Si donc deux droites se coupent sur l’axe des ordonnées, le point

correspondant dans le nouveau système, sera situé à l’inâni, et les droites seront parallèles. C’est ce qu^on peut démontrer directement de la manière suivante :

• Soient

les équations de deux droites , qui se coupent en un point de Taxe des y ; si l’on substitue dans les équations à la place de je •t de y les valeurs (1) on trouvera <

mjr' amn

Of'

y = —je’ + an.

mX' o'»m

équations de deux droites parallèles , puisque m et i sont des quantités consiantes.

ÎHJ4. On peut encore , à l’aide de ces formules , changer l’équation d’une. courbe du deuxième degré y) O en l’équation d’une antre courbe aussi du deuxième degré, mais d’espèce différente ; il suflira pour cela dô substituer dansi l’équadon proposée les formules (1) , ce qui donnera une relation w»» ») = 0 , dans laquelle on déterminera convenablement les constantes m et « pour que celte équation représente Soit un cercle, soit deux lignes droites convergentes..

805. Pour déterminer graphiquement la position des points du deuxième système correspondants aux points du premier , soit M(fig. 150) un point quelconque rapporté aux axes primitifs OY , OX J oh prendra sur ces axes ÜA = m , OB = n, et l’on achèvera le panaUclogramme OBO'A : 0' sera l’origine des nouveaux axes OX', OY’, réciproquement parallèles aux axes primitifs.

Menant l’ordonnée MP du point proposé M , joignant AP qui rencontre BO’ en Q , et enfin , menant par ce point QM' OM' MP

telle quC'^^zs^, le point correspondant du nouveau systè-

me sera M' , dont Tabscisse est O'Q et l’ordonnée QM'.

En effet , par suite du parallélisme àes droites OA, BO' , on a

0|Q BQ 0A ....V 4Q— n* OB__»w

AQ “QP~,AP’ — OQ— OA .^~ 0A .jjp-j^i

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