AE— BD ^2CD — BE -ÙAC
La condition n^essai» e et suffisante pour que la simplification de l’équation soit possible est que les valeurs de a et de A ne soient ni imaginaires, ni infinies , ni indéterminées.
^ Le premier cas n’est pas possible, puisque les valeurs de a et b ne sont pas affectées de radicaux ; le second cas peut arriver, mais seulement pour les équations de paraboles dont la caractéristique est B^ — û'AC = 0 ; le troisième cas ne peut arriver de même que. pour les équations de paraboles.
Mais pour les équations d’ellipses et d’hyperboles il sera
toujours permis dc' faire cette sim{iliücation , et de transformer l'équalion proposée en une- autre représentant exactement la même courbe , et qui se réduira à la forme plus simple
Ay’2 + B^y' -f -Car'» 4^ P =: 0 , (C)
en faisant pour abréger
' P = AA2 4- Bai-fCa^-lrDA + Eo + F.
07. Mais on peut obtenir une tradsformée qui s’applique aiix trois courbes àda fois. Eu effet , profitant de l’indétermination do a et de A pour faire disparaître lé terme tout connu , et l un des termes du premier degré , le terme pn y' par exemple , on
posera • '
AA2 + BaA+Ca2 + DA + Ea-f-F = 0, (2)
2AA4.B« + D = 0i ' CS)
'y Gqpslf
La première de ces deux équations prend la fome . i(2AA;+Ba+'D) + a (2Ca + BA + E) + (Di +Ea + 2F)=0; et , à cause dé la deuxième , se réduit à - -
• , o(2Ca+BA+E) + (DA + Ea + 2F)’=0. \ (4)
* * . * Eliminant entre les équations X3) ôl (4) on trouvera , pour
déterminer la valeur de a, l’équation - . .
( - 4AC ) a* + 2 (RD*- 2AE) a + (D* — 4AF ) = 0 , •
équation qui n’est autre chose que la quantité sous le radical dans l’expressièn générale de l’ordopnée de la courbe
^ ±^K(B2-4AC)a^+2CBD-2AÉ;jH-'CD^VAt)>
dans laquelle x est remplacé par a, Les valeurs de c correspondent par conséquent aux points d’iniersébtion du diamètre et de la courbe ; ce qu’on peut d’ailletirs^ reconnaître dans les équations (2) et (3; » dont la première est l’équation même de la courbe et la deuxième celle dû diamètre.
Si le diamètre ne rencontrait pas la- courbe, il ne serait pas possible de faire évanouir à la fois F et D ; mais on voit facilement qu’onjiourrait faire évanouir F et E.
Donc la transformation précédente s’applique à toute équation du deuxième ‘degré , qui peut par ce moyeu-être ratnenée à l’une dès deux formes . ■
' ^ A/^ Bx'y'-j- E'ar'= 0', ■■ ''
. A/^ -}- Bj^y Dy = 0. (O)
68. Afin d’arriver à une transformée plus simple encore qqe l’équation ( D ) , on changera b direction des axés à l’aide des formules pour la transformation des coordonnées obliques en' d’autres coordonnées obliques, sans déplacer l’origine,
■ ' ' " sin (9 — -, cc) -i{- y sîn (9 ~ «') -■ '
^ sin o r , '
t/* sin a' ' • ■ ' , •
' Subuilinnt C3s valeurs dans l’équation (D) , on trouve
' . . a?* sîn a -îy'i=
sin i
Asîn’a] V12
SAsiraiitia’ x"ÿ'
'j^BsiiK«’sin(6 —a’) * »in*6
Crio^>6— «') "* sin^S./
~ shi“9 Bsina>in(9 — ce’)
"sîirïS"^
B5În«'siB(9-^) -|- sîd>6 aCsin(^-g)!iiii(fl— «’)
AsÎB^a’'V’^ ^ BsinaUn(9— a)
sin^O
. J Csin*(fl— «)
E’»in(6— «')
stn'‘‘6
E’8in(0-
siu6
Si l’on avait substitué ces valcui’s dans l’équation (C)
Byy + Cx>\+ P r= 0 , .
on aurait obtenu line tra'nsforfliée exactement semblable , ex- ‘ cepté que les termes du premier degré en et ar* seraient remplacés parle terme indépendant P.
Dans cette hypothèse, si on profitait de l’indétermination ^e a et pour faire évanouir le rectangle des coordonnées , en posant / .
2A sin a sin a'-|- B [sin a sin (0 — a!) -|- sin sin(6 — «)] Ç5J
4" 2C sin (9 — a.) sin (9 | ’
on Obtiendrait ain^i une équation à deux indéterminées a, et, par conséquent J pouvant être satisfaite par un nombre inlini'de valeurs de « ét a' ; ce quf signifie qu'il existe un nombre inffini de systèmes d'axes pour lesquels toute équation d’ellipse on d’hyperbole peut être ramenée à la forme .
' . • . My'2-|-Njr»2-f-P = 0,
a, a! , étant toutefois liés entre eux par la relation (5).
En développant l’équation de condition (6) on obtiendra sans difficulté, par des transformations de formules trigonométriqqes connues , ' ^ ,
2(A — B cosê) sin « sin (B — 2C cos 9) sin (a. -j- <«‘)sin 0 V
— 2CcOS'(a-f-«OcOS*0-j~2CcOS«COSa'‘ j ‘ ^ '
Ce nombre infini de systèmes ^ réduit à un seul si a' — a = 0 , c’est-à-dire si l’on prend les nouveaux axes perpendiculaires. En effet , on a alors
sin a' = ces «, :î
.■ COS a' = — sin a ,
•. . . sin Ca4-a'J = COS 2«,
’ ■ ^ cos (a -}-«’•) = — sin 2a , • .
et rëquation (6) devient " • ’ '
(A — C — B cos 9-|-2 C cos* 9) sin 2 a-^- (B— 2C cos 0) sin 9 cos 2 a= 0; „ ( B — i 2C cos 0) sin9
d »u UD8 2. = - rrV^-Bcos. + ZCm^i-
Ce système unique d’axes perpendiculaires a reçu le nom ù'qxes principaux de la courbe.
Si, de plus, les axes primitifs étaient aussi perpendiculaires , c’est-à-dire si 9 r= 100°, la formule précédente se réduirait à
lang 2« = - /t'
C9. Cette valeur devient indéterminée si l’on a à la fois
• B = 0, A— C=0 ou À=C;
alors l’équation générale (1)., de la forme
Ay*4-Ax*-}-!)y-f- Ér-f F=0,
représente évidemment une courbe du premier genre : car B* — AACse réduit à — 4A*, quantité nécessairement négative. ^ Celle équation peut encore se. mettre sous là forme
D*-f-E*-WF
