C . EV D

En comparant celle équation à l’expression générale de la distance entre deux points donnés dont les coordonnées sont rectangulaires (5), ‘ '

on voit qu’elle représente le lieu géométrique de tous les points tels , que leur distance à un point donné , dont les coordonnées sont

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Digitizc"

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est constante et égale à une longueur donnée , c’est-à-dire la circonférence d’un cercle de rayon donné.

Ainsi , il sera toujours possible de r anienef l’équation d’une ellipse et d’une hyperbole' à la forme

My’"-HNar'2-l-P= 0,-

les nouveaux axes étant obliques ou rectangulaires; et la question aura un nombre infini de solutions dans le premier cas , et une seule dans le second , exqepîé pour le cas particulier où B=0, A=C, auquel cas l’équation représente une circonférence de cercle , et sera toujours réductible à la forme

par un système quelconque d’axes perpendiculaires menés par le centre. ^

Ici se présente la question de Savoir comment on pourra reconnaître, à rinspeclidn seule de l’équation , si elle représente un cercle, qüi n’est véritablement qu’une espèce du genre ellipse.

Pour cela reprenons l’expression générale de la distance de deux points dont les coordonnées sont obliques (5) ,

= (ar — a:') 2 -f (y — y' ) * -f 2 (ar — ) (y — y') cos 9.

D’après la déûnition même de la circonférence, si a, A, sont les coordonnées du centre, et r le rayon , les coordonnées ar, y , d’un point quelconque de la circonférence , devront satisfaire à la relation^

(a: — — 2(ar — a) (/ — A)coso=r2;développ.int le premier membre , on aura j^-|-2a-ycos9-|-a;^ — 2(A-{-ocosO)y — 2 (a -j-Acos

tI- ■4" 2aA cos 0 — )

£n comparant cette équation avec l’équation générale^ des courbes du deuxième degré , on voit qu’il faut qu après avoir divisé l’équation proposée par le coefficient de y^, celui de soit éga'l à l’unité , et celui de a?y au double du cosinus de l angle des axes.*

70. Maintenant examinons si on ne pourrait pas obtenir une transformée applicable aux trois courbes.

La transformée (T) (68)' n’aura plus les terntes en «’y* et ÿ* , si l’on peut avoir à la fois les deux relations

2A sin a sin a' -{- B [ sin a sin (9 — a') -(- sîn a' sin (0 — j

-j- 2Csin (9 — a)*sin.(9 — «') /■;=0

et sin (9 — a’) = 0 ,

ou plus simplement i ' i. '

2A sin a -f- B sin ( 0 — a ) = 0

et

sin (0 — ■«'

d’où .

sin a

sin 6 «

et

Si l’on compare le premier de ces résullals aVec ré(|uation (O) (67) , on reconnaîtra que le nouvel axe doit'se confondre avec le diamètre passant par l’origine des nouveaux axes; le deuxième résultat fait voir que l’autre a'xe doit être parallèle àiix ordonnées, et, par conséquent, se confondre avec la droite qui touche la courbe à l’extrémité de ce diamètre.

Or, comme pour chaque point des trois courbes on peut concevoir le diamètre et la tangente en ce même point, on peut établir en principe que toute équation du deuxième degré peut être ramenée à la forme

et, en faisant - 2 = g/, , - à la forme

= 2>ar -}- f'

la, eoutbe ^ quelle quelle soi^, étant rappoTlée à, deux axes conjugués, dont l'un est le diatntttre passant par l’origine, qui est un point de la courbe , et t autre la tangente à ce 'même point.

On remarquera que, la fornie de la courbe n’étaut aucunement altérée par cette transformation de coordonnées , les équations, réduites à leur expression la plus simple, doivent conserver le caractère analytique propre au genre de courbe qu elles représentaient primitivement. *

Ainsi , quand l’équation d’une ellipse est ramenée à la forme Na?-' -f- P = 0, il faut nécessairement que M et N soient de même signe’; autrement l’on n’aurait plusB^— ùAC < 0; que si l’équation représente une hyperbole,, M et N doivent être de signes contraires.

Dl.: ■

et , plus généralement , lorsque l'équation

représente une èllipse, on doit avoir nécessairement g<0; . si une hyperbole , • , >

si une parabole , ' / 7 = 0. ,