B MP
ou ^ > . A ~ MP = y. •
11 est facile de voir que, pour chaque rayon OCD , ou déterminera quatrè points M,'N, M', N'. • • , ‘*y. .*
76. Soit M un poijfk quelconque situé entre deux axés rec-“ tangulaires OA, OB ffig. 23) , ayant pour coordonnées x = OP, 7 = MP ; par le point M, niions une droite quelconque RMS : les deux triangles semblables MPS,MRQ, donnêni la proportion
d’où
68 — MP RQ ■ ••
et-si l'on suppose RS = A‘+ B BM =3 A , d’où MS = B ,
ôn aura
ou
MP ôF*
, y=|i/F77îï: •
donc le point M appartient à, l’ellipse dont les'axes sont 2A et aé, et le centre a^ point Oy " -
' De là ce moyen biëù simple de construire une ellipse, con- 'Uaissantie centre et les axes 2A , 2B. Après Uvoir mené par le centre ,,et dans la direction des axes donnés, deux droites indéfinies OS, OR, pliez en for^etle règle une reuijle de papier, sur laquelle vous marquerez trois points R, M, S, tels, queRM-4^MS= "A. + B » I® demi-somme..dés'axes ; pais faites tourner la règle, dans chacun des angles, autour dn point O ,‘de manière que les points R et S 'soient^ constamment sur les droites OS, DR, et marquez la place du point M pour chaque position de la. règle : jgtopun de ces points sera un point de Pellipse. *
' 77. Par le point M (figi 23), situé entre les axes rectangulaires OS, OR , SI l’on mène une droite quelconque MUV , à cause des parallèles OU , MQ, on aura
. ■ QO /mj ' •• K'..' - ■ t.
QV~*.MV'. . ‘ .
etsi rôn'faitMV== A , MU=B, ■; '
' ' ' ‘ ■ QO = MP ^ y ® ,
et le poiut M appartient à FeRipse dont le centre est au point O, et les axes sont 2A, 2B. '
Donc , S”' cffnstrueiton ■' ^ ^ ^
Pÿ>ur constrùit’e une ellipÿe ayant son centre au point O, et pour axes 2A, 2B,‘si(r une règle VUM marquez trois .pofnis V, U, Al , tels , que VM =r A', UM=: B ; et faites 'tourner la
• ■ • Digitizod by Googk’
règle dans chacun dea^angles droits, de manière que les points • V et U soient toujours sur les axes ; le point M décrira l’ellipse.
Nous laisserons au lecteur le soin de construire la courbe d’après la propriété indiquée par L’expression même de l’ordonnée '
y.= di -J K(A + f)TV ~,x)- . .
^On cherchera pour chaque valeur de or, *= OP, une moyenne proportionnelle entre A'P et AP , que l’on divisera dans le rapport des axes.
Nous nous bornerons à l’énoncé du théorème qui résulte ,de la formule ' . ' ‘
, (A+,i)(A-ra0^r A^ ./
‘ THÉOIIÈME. '■ .
Dam toute ellipse , le carré d’une demi-corde parallèle à un diamètre est au reetangle des segments déterminés par elles sur le diamètre conjugué, dans iin rapport constant, quel que soit l’angle que fout entre eux ces diamètres.
Les extrémités A , A* , £ , B', des diamètres principaùx , ou axes de Tellipse., se nomment les de la courbe. La
courbe est symétrique par rapport à chacun des axes.
Il est facile de voir que : • ,
THÉORÈME. '
Deux ellipses sont égales lorsque leurs axes sont égaux.
78. L’équation de l’ellipse, rapportée au centre et à. deux diamètres cohjugués, étant de ménie forme, quel que soit l’angle de ces diamètres , on, eu conclut un moyen facile de construire l’ellipse sur deux diimièlres donnés faisant entre eux uu angle donné. <
1" construction. Sur les diamètres donnés, considérés comme axes , on construira l’ellipse par un des moyens indiqués ; ensuite , on inclinera convenablement les ordonnées, de l’ellipse construite , en consërvant à chacune d’elles sa longueur.
Celle construction se fait élégamment de la manière suivante :
Sur un des diamètres donnés AA' (lig. 24), ou prendra à partir du centre O des longueurs 01 , II , etc. , égales entre elles , et
. en aussi f^ranà nombre qu’on voudra ; par chacun des pohils I on élèvera les perpendiculaires IH , ordonnées du cercle construit sur AA' comme diamètre, et les droites Iti parallèlcsii AB ; ensuite, par cliacun des points G on tirera les droites GM parallèles à AA' , sur lesquelles on prendra des longueurs G M =r GM' égales aux ordonnées correspondantes IH : les points M, M' , seront autant de points de l’ellipse. En effet , '''
