ET DE P08IT10H

78. La seconde équation réduite , de la forme '

-f-Njf^ -j-P= 0, ■' représente une ellipse ou une hyperbole rapportée à son centre et à deux axes c<mjkgués(55'):.en ettet, en résolvani l’équation par rapport à l’ùne ou l’autre des variables , on obtient deux valeurs égales à des signes contraires, ce qui démontre que toute corde parallèle à l’un des axes est divisée par l’autre en deux parties égales. , , t ‘

L équation représente une ellipse lorsque M et N sont de même signe, et P de signe contraire à celui de M et N ; et une hyperbole lorsque M et N sont désignés contraires, quelque soit d’ailleurs le signe de P.

Sous cette forme simple , b construction du lieu géométrique repr^nté par l’équation n’offre aucune difGoulté. .

Soit fait y = 0 dans l’équation

on trouvera' •' - j-'!,

- ; —y JJ’ ^ ^

double valeur que l’on portera sur l'axe des a? à droite et à' gauche de l’origine en A et A' ^g/ 21). ' *'

Eq faisant de même :r =± 0, on obtiendra

que fou portera de-méme sur l’axe des y qn B et B'. AA' et BB' seront les diamètres conjugués de la courbe. , - ' .

Posant

d’oè

•Ai’

et substituant ces valeurs dans l’équation de la courbe, on aura, toute réduction faite,

ou A^ÿ*^.BWï=:A*B*,

équation de l’elUpse courbe rapportée au centre et à deux diamètres conjugués 2A« 2B.' - , ■" ' *

L’ordonnée dè la courbe ^t généralement

Pour chaque valeur particulière donnée à ar , a; =: OP , on (^~ tieodr^ deux valeurs égales et de signes çonb^ires'l qu’on por^ tera sur l’ordoilhée indéfinie PM , ce qui déterminera ^ux pqintjs M étüi de la courbe.. * r ; • . , t-,

. En outre, comme la même valeur négative de a?,, a? = OP ==,-^OP ne cha'njje en rien la valeur de y, on obtient ainsi deux nouveaux points M' N^. T ' • • ' ’

^ répétant pinceurs, fois' la même opération, on détèrmi- ^nera un as^ez granid nombre' de points pour construire la courbe entière. * - '

On reconnaîtra facilement que , x croissant positivement ou . hégative'menr depuis ar = 0 -jusqu’à ' àr A , la longueur dè l’ordonnée diminue depuis y = B jusqu’à y= 0; au delà de ar’=zA, la-courbe n’existe pas. - ,

La forme de la courbe, dépend , comme on le voit , de la grapdenr des, diamètres AA' =;2A , -BB^ =: 2B, - et de l’angle formé par eux. ■ ,? f i.-' -

Lorsque l’angle des diamètres est droit , ia construction de la courbe^e fait plus prorap'temenL et de la manière suivante :

On a vu (69) que l’équa'tion d’un cercle de rayon R , dont le centre est à l’origne des- coordonnées, rectangulaires, est de la forme >

et l’ordonnée d’un point quelconque de- la circonférence a pour expresssion ^ ■ v

En comparant la valeur de l’ordonnée de l’ellipse

avec celle de l’ordonnée d’un cercle de rayon A ,* conceniriquo à l’ellipse*, * x J '

Y = ±P^F-XS* - '

on voû que pouf Vies abscisses égales le rapport de* ordonnées des deux courbes est constant. On a ep effet j ,

De là celte constrüctiofa facile

Etant donnés'le centre 0-et lesoar^ ou diamètres piàncipaux d’une ellipse^, AA', BB' (lig. 22), du centre O, et des rayons ^ » O — - B , décrivez deux circonférences concentriques •

puis menez 'un rayon OCD ; du point D, DP j perpendiculaire sur OA , et du point C, CM parallèle à OA. Le point M appartient à l’ellipse. En effet on a