X . P* = l*ry cos A -}- P

En faisant pour abréger obtiendra facilemépt, au

moyeu des équations (1) et (E) , ^ t i

■ a* — 2o cos A al'

|/l 4- — 2a cos A ’

et par suite , toute réduction faite ,

2 (1 4~ 2a cos A) P i

. ^ • 1 -f- a^ — 2a cos A ‘

Résolvant cette équation par rapport ù u , on trouve

« = (p" -b cos* A - (p' - r

expression qui peut se mettre sous la forme

[f'A+co»A)-p’(i-cosA) ]

d'où l’on voit que la plus grande.et la plus petite valeur de f seront données par lés relations ' •

- lia -

etf d’après une formule connue,

/).»=/2 tang2 A.

On obtient pour valeurs correspondantes de O . >,

d’où l’on conclut que le grand axe de l’ellipse est dirigé suivant la droite qui divise en deux parties. égales l’angle des ' droites , et le petit axe suivant la droite .qui divise en deux parties égales le supplément de cet angle.

Quant aux valeurs des demi-axes-, elles se construisent facilement de la manière suivante.

Divisez l’angle (fig. 37 bis) BAC et son supplément en deux parties égales par les droites^ RAR', PAP' ; au point G, tel que

AG = / = ■; , élevez sur AB la perpendiculaire indéfinie OGP ,

qui rencontre ces droites aux points O et P, GP et OG seront les demi-axes de l’ellipse. En effet , d’après cette construction , le triangle AGP donne ' .

AG = GP . tang APG = GP . tang OAG ;

AG . l '

et par conséquent GP =

tang OAG '

tang -A

D’ailleurs on a directement, par le triangle AOG , OG = A tang OAG == l tang ^ A.

On pourrait encore substituer dans l’équatiqp (E) les formules

x' sin (A — a) — y' cos (A — «). >

SO • ”â

8in A '

jr' sin a -1- y' cos «

sin À ’ ‘ '

Di ■ : J by Googlc

qui servent à passer d’un système d’axes obliques , faisant entre eux un angle A, à un système d’axes rectangulaires, et exprimer la condition nécessaire pour que le terme en xy s’évanouît dans l’équation transformée ; ce qui déterminerait d’abord « , c’està-dire la direction du grand axe de l’ellipse j et ensuite, l’équation étant ramenée à la forme .

My2 + Na^-1-P = 0,

les longueurs des deux axes seraient déterminées par

■iM

Nous laissons au lecteur le soin de faire le calcul.

130. Étant données deux droites convergentes AB, AC , partagées chacune en un mén^e nombre de parties égales ( lig. 88 ) , comptées pour l’une , AC , à partit du point A, pour l’autre, AB, à partir du point B, enjoint réciproquement les points de division de la seconde avec les points de division de la première, de manière qtie le nombre de divisions de ia seconde soit moindre d’une unité qne le nombre correspondant de la première. Quel est Je lieu géométrique des points d’in- ■ tcrsection des droites de jonctions consécutives (J, S), (8, 4) j (8, 4), (4, % etc. î ' ' •’

Prenons pour axes coordonnés les droites elles -mémos AB, AC, et supposoiissque AB soil partagée en n parties, représentées para, et AC en n parties, représentées par A.

Soit M un point de division quelconque de la droite AC , et AM=; zb , Z étant un coefficient indéterminé , exprimant le nombre de divisions contenues dans AM. , .

• lé point de division correspondant N de la droite AB , d’après l’énoncé, sera tel que BN =,(2^— 1 ) a , et par conséquent AN ^ AB— BN = «o — (2 — 1) 0-- ' ■! , >!

La droite de jonclioo des deux points M et N aura donc pour équation

MN

Soient encore M' le point de division qulsuil immédiatement le point M , en allant dans l’ordre naturel des cliifüres , à partir du point A , cl N' le point de division qui suit le point N , en allant de B vers A i on aura AM',= (2-hl) zzz za^ et

AN’ nza{n — z); et . par cbn^quent la droite 4& jonction djes points M', N', aura pour équation ■' •

Il ne restera plus qu’à éliminer z entre les équations (1) et (2). pour obtenir l’équation géométrique du lieu demandé. Développant les équations (1) et (2) , on obtient,

afiy — ayz-{- ay-{-bxz — abnz'-^-qbz^ — abzzkd ^ (?)

any — ayz-\- bx-\- bxz — àbnz -|- air* -j- abz — abn = 0.(4) Retranchant ces deux équations l'une de l’autre ,

oy — iar+ <*^ “ 2air = 0; . ■ • i

. gy — bx + abn - '

d’où

2oi'

Substituant enfin cette’ valeur dans l’équation (3), par exemple, op trouvera, toute réduction faite, ^

'cV-2aia’y-l-i*ar*-2fl*i(«+l)y-2(»i*(ii-l-l)ar-fa*i’n(«4-2^)±:0» (Pj La relation B*^4AC=0 étant satisfaite, le lieu géométrique

*^.Si l’on résout l’étpiation par rapport à y, on aura ' • *

Le-diamètre DD' , y = ~ [a> -f- a (« + 1)] > .

est parallèle à la droite AH qui joint le point A et le milieu de 6C’, et il rencontre la droite AC, axe des y, en un point éont Pordonnée est (n-)-i) i- ' . : v ^ '■ : '.y ,v '

De plus , la courbe coupe le diamètre en un point dont-l’abr

’scisse est '■ • ^ •-•••r .. . ' ?

4(n + iy , ■ ■

On déterminera facilement ce point, par lequel menant une parallèle h "AC , ‘on aura un système de diamètres conjugués de la parabole.'' On pourra d’ailleurs déterminer un point' de la courbe, soit par la construction directe résultant dè l’énoncé, 'sojt en faisant <r = 0 ou y = 0 dans réqùaüon'(P)^

On reconnaîtra par ce dernier moyen que la parabole passe par les points nb,.(n -j- 2) b, de la droite AC, et na , (w-^- 2^ a, de la droite AB.

La connaissance d'un seul point suFtira pour déterminer le paramètre du diamètre , et podr achever la construction de la courbe par un d^ moyens indiqués précédemment. >

Désignant AB =: na par p, KC> — nb par q , et remplaçant a

et b par ^ ; puis faisant n = « , après avoir chassé les dénominateurs , on trouvera l’équation

— ^pqxy -f q^3!^ 2/>% — ^pq^x + pY = O, (PQ

équation d’une parabole tangente aux côtés ABj, AC , anx points B et C, ce qu’on reconnailra sans difficulté en faisant successivement a? = 0 et y = 0.

Plus on fera, (je divisions ^les côtés AB, AC , plus on.s’appro-^ chera de celte parabole limite , qu’on ne pourra jamais obtenir exactement par une constrnction graphique.

L’équation P' «donne

py — qx + pq±ykp^x\ -i , .1'-. ^

et, extrayant encore la racine caçrée.des deux membres, -i <

^ qx -f-PŸ [/'Upq^x.

Or on sait que toute expression de la forme A i t<^B peut se ramener, à la suivante r \/ — ■+■ \/ ^ ~ ^

dans la'quelle expression C = b? — B"^.

Effectuant les calculs , on trouvera

py — \^ pq ±.\^ qx \

d’où l’on tire , en prenant une seule combinaison de signes,;

équation symétrique de la parabole rapportée à ses tangentes AB, AC.

Si ;>= y , l’équation de la parabole devient

(^Ofdonnées du centre

121. Le lecteur pourra s’exercer à discijter et à coiisti*uire les

courbés smvantes , dont nous nous bornerons à faire combattre les éléments principaux: . •

^ 2xy 5^ — 4» — 0, ‘

rapportée^à des axes rectangulaires. ’ . - ,

Ellipse /passant par l’origine des axes coordonnés. ^ Equation du diamètre conjugué à l’axe des:r :

y-}-‘ar=0.

Coordonnées des points de rencontre de la courbe et de ce diamètre : ■ . .

Longueur du preipier diamètre : ^ D = 1^2.

Longueur de son conjugué : =

Louguêur des axes : . ^ 5 ' ’

' Tangentes des angles' des axes avèc la droiteprise pour axe des a? :

fl.= — (2 +(^S) » . ;

rapportée à des a'xes rectangulaires. . ,

Hyperbole. ■ r

Le diamètre 2y + a? 2 = 0 rencontre la. courbe en deux poUtts /dont les abscisses sont -, ...

= B (l/ïâ-l), »* = -

et les coordonnées do centre

Le.diamèlre cdnjugué, parallèle à l’axe des y. Asymptotes , — |

Axe transverse ,

2A=^(i>ro-*i)- '■ . ;

Tangente de l’angle que cet axe fait avec là droite pri^e pouï*

. axe des a;,.

' ■ 0=3 — Kp- •

rapportée à des coordctonées rectangùlairœ. ,•

Diamètre: • ' y = 2x — 1.

Coordonnées du point de rencontre de la courbe et du diamètre :

Le second diamètre est parallèle à l’axe des y , et passe par ce point. , * v

Lquation de la perpendiculaire menée par le point anr le premier diamètre :

Coordonnées des points de rencontre ’,de cette perpendiculaire et de la courbe : - ’

{ af~ — , j - '

Coordonnées du point milieu de la partie de li perpendiculaire comprise dans la courbe :

x' + ar* 32

*La droite menée par ce point pâranèlement premier dia-mètre est l’axe de la parabole. .

On cherchera l’équation de cet axe et les coordonnées du sommet *,^c’est-à-dife du point de rencontre ‘de l’axe et. dé la conrl)C. ' . • . • • •

• rapportée à des axes quelconques. .

Un point , dont les coordonnées sont

L’équation projSosée peut être ramenée à la forme

(y — 2x— 1) 2+(ar— 2y+l’)^=0,. .

ce qui exige qu’on ait en même temps , y — 2a?^ 1 0 , ‘

■12»., ' lOy^-f-llai/— 9y— è^-}-2=0, coordonnées quelconques.

■. Deux droites: 2y-f7 3:P-^- 1 = 0, ‘ '

■ÿc hy — 1x — 2 = 0. ,

^ + 24y — 8a: -fr 16 =

coordonnées quelconques. • . < ,

Une droite ; ^ îy — x-f-4 = 0. >

Deux droites : *

' . f ûy 3a: ) = 0 ,

(êy— 3a:)— 0, >' ‘ • ‘

formant avec les iixes un faisceau harmonique , dont l’origine . est le sommet. ' ’

Digilized by GoogI

-Mb y

128. Étant données deux droites faisant entre elles un angle donné A, on place de toutes les manières possibles entre ces droites une liçae droite d’une longueur constante et donnée l, et l’on pai tage cette ügne dans chaque position particulière

en deux parties qui soient entre elles dans un rapport donné—. Quel est le lieu géométrique des points de division ?

Les droites dqnnées étant prises pour axes coordonnés , on obtiendra , ^

n* — 5 2/nw cos Axy-\-tn^^ — ( “ïT"^

Discuter l’équation de cette ellipse , qui se change en cercle lorsque A = 100®. . * ■

128, Partager un triangle donné ABC par une sécante DE, de manière que les deux parties de ce triangle^soient entre elles dans un rapport donné — , et qu’elles aient leur centre de gravité sur une même perpendiculaire è la sécante.

Prenant pour axes coordonnés les côtés AB = a , AC:= Ô, et désignant par^a, jS, les distances AD , AE, des points D et E, où kl sécante rencontre les côtés .AÇ, AC, on aura pour déterminer ces distances les deux équations

— {b -|- a cos A ) P (q -(- b cos A ) — 0 , (1)

ab,

équations de deux hyperboles , dont l’une est rapportée aux asymptotes AB, AC.

Discuter ces équations dans les cas ou A= 100“ , où 4 = a,

et A •= -J- , etc. , etc. /

PPOBLÈME.

150, Trouver le lieu géométrique des points tels ,

•4® Que la somme de leurs distances a deux droites données de position loil constante et égale à s,

2° Que la dilTéience des distances soit constante et égale A d ,

8® Que le rectangle des distances soit égal à une surface donnée ,

bigitt:;j0 1. Çoogle

• 4* Qae le rapttort des disunoes soit égal à — ,

» V ‘fl

5: Que la somme des canés'des distances soit égale 4 une surface donnée'n’ , ’ fl* Que la diiféreocr des carrés des distances soit éjale à une surface donnée p*.

Les droitçs données étant prises pour axes coordonnés'^ 9 étant l’angle de ces droites , et a , ]3, les coordonnées d’an^ point quelconque des lieux géométrtqués'demandés , on obtiendra

J . sine ’ ^ . . •• . .

ligne dreite, parallèle à ta bissectrice de' l'angle des droites

données, et telle que le triangle isocèle intercepté ait pour ses

deux bautenrs égales la longueur donnée >

sin

ligne droite , ^rallèle à la bissectrice de l’angte des droites données , et telle que les deux hauteurs égales du îriangie isocëe intercepté soient égales à rf. • ' . ' ' ^

■oi mr

aS ~ »

sin'* 0 ,

hyperbole, ayant pour asymptotes lès droites dbnnées, et pour

— . mr

puissance

sin^ I

ligne droite, passant par te point.de concours des droites données. >

'• sin? 0 ’ •

ellipse; rapportée' atoc droites données comme dianiètpes', l’oFigine au point de concours des éhroites j les diamètres conjugués sont égaux. Si 0=100*, l’ellipse se change en circonférence.

sin^0 '

hyperbole, ayant pour asymptotes les . bissectrices de l’angle des droites et de son supplément. / "

151. Étant donnés deuï droites AB, AC, et un point I-(fig. 39) situé dans

îeurplanron mène parce point nnedroUe NI8, qui rencontre les droites AB, AC,

aux points S et N ; ensuite par le point S une droite SM, faisant avec NÏS 1 angle ISM égal à un angle donné, et sur laquelle on prend une longueur SM troisième

proportionnelle à M et ÎS. ^ j -,

Cda fait, si l’on ^ •'«"C’e donn^ parcourt la droite

AB , le côté NIS étant assujetti ù passer constamment par le point 1 , et la longueur Siij.à satisfaire constamment à la relation IS^ => NI . SM , le point M décrira une courbe, dont il s’agit de déterminer l’équation et l’espèce.

Par le point I menons 10 parallèle à AC : il est facile de voir que le point 0 sera nécessairement un point de la courbe. En effet , IN' étant infini , le côté de l’angle donné correspondant à SM devra être nul. Prenons donc pour origpnedes coordonnées le point 0, pour axe des x la droite AB , l’axe des j/ faisant un angle quelconque 9 avec Taxe- ries x , et soit fait AO — a , OD — p y H) = i/,OP^a.,'MP=:p, OS = r.

D’après là construction précédente , la droite AC , parallèle

à la droite 01 , dont l’équation est y = ? a? , et passant par le

point dont les coordonnées sont x'= — a, ÿ'~0 , aura pour équation

AC ÿ = ^(x a) -, ^ CO

^ etdemêmel'on aura pour équations des droites NIS, SM, d’après les formules connues, .

NIS y~q = -^^(.x-p^,

SM y—p=-‘

fx — a).

Mettant l'équation (1) sous la forme „ .

et combinant entre elles les équations (2) et (4) pour en tirer les valeurs de (ar — p)t(.y — y), et les substituer dans la formule

NI = \/ {X —pf + (y — H-, 2 (a; - p) (y — î) cos i ,

on*lrouvera, toute réduction faite , .

. Nt — ^ \/ (z — py + 2? (z — p) co^ 0‘

Ï/6S valeurs de IS et SM s’obtiennent directement :

' IS = (/(« — ql — 2? (* — p) cos e , . ' '

r. sm=(/(7

■ K? -J" “ 2/3 (z — a) cos 6.

Par Conséquent la relation IS^ =NI. SM donne piour, équation de condition . . . , \ . •

, ï^(^i»),'+?^2î(*-p)cÛS0=jKC^a)^+^-2^*-a)cos9. CE)

■ , II s’agi t d’exprimer maintenant que l’angle des droites NIS, SM, est constamment égal à l’angle doiiné S. Or, d’après la formule enr coordonnées obliques (23), on devra avoir pour seconde équation de condition , . .> . ' ■

tang S ;

\ . Z — g ' ^—pj

sin S

1 + -li-, -, - ,

Cette équation se simplifie rapidement si l’on suppose qjie l'angle des axes soit égal au supplément de l’aiigle donné. Alors do e 200® — S on lire - , •

tang S = • .

" , CüS 6

et, Substituant cette Valeur ,\)D obtient, toutq.réduc(ioa faitq,,

•cos 6 = 0,

Il ,ne reste plus qu’à éliminer ? entre les équations (E), (E)', pour obtenir l’équation du lieu géométrique demandé. , '

Au lieu d’éliminer d’après la méthode générale , qui coudai** rait à des calculs et à un résultattrès .compliqués , nous aurons recours à l’ariiGce dé calcul suivant.

L’équation (E') prend la forme ' , .

P , jz — j?) — 2y cos 6 ' .

d’où l’on tire , par une transfomiMién cçnnue , . . ’ .

'(* — 4)2 j52‘‘ ç2 ^ [(2 -1 2î COS »]*

Développant le second membre , il vient

fe— py+y^-2?Çr-;>)cose . 2ycose[(z— p)-^2?cos0]

et , en vertu de la relation ( 5 ) v (*,)2-^^2 Ç2>-py + ?^ — 2?(z — p)cosQ I 2?cos9 , {z^f ~~ *— *

par conséquent , enfin ,

. (z — 2^ (« — a) cos e (z — g)^

■ ■' (2— /7)î 4- î^— 2? (î — ;») COS 0 ~ 9^

L’équation (E) devient par la substitution de cette valeur • ,

et , extrayant la racine carrée des deux membres | on trouvera

Substituant enfin celle valeur dans l’équation^S) , on obtiendra , toute réduction faite , l’cqiialion finale

(« -g) 0+ 2g cos 6) « +(o- g) = 0 » C^)

qui se décompose en deux équations : ,

ov? — (a^Ÿ).(p4" 2g cos 0) « — (a + g^ * l3 =

aa?’— (^a — q)Cp-\-^ COS rt) a la — q')^ ^=zQ, if) équations de deux paraboles.

Si du point I comme centre , et d’un rayon égal à ID , on décrit un arc de cercle qui coupe AB au point E , on aura évidemment DE = iq cos 0, et par conséquent OE + 29 cos 6 ; et, représentant par »• celle longueur , les équations précédentes prendront fa forme plus simple . ,

aa^ — (^a-\-q)tx — 'u-\-q)^^=Q, (P)

rta^ — (a — ^nc-{-(fl — 9)2(3=0. ' ' (?')•

Résolvant l’équation P par rapport à, « , on obtiendra

3ignizi t , '.6nolt

a=:— ^ r la

Le diainèire o == r est parallèle à l’axe ^es y, et se construit facileiitcnt ainsi- qu’il suit : ^ ^

Prenez EG, quatrième proportionnelle à AO , OE El, etq>ar le point F, milieu de OGj menez, FF' parallèle â OY’. ' le diamètre FF' rencontre la parabole en un poiqt dont l’or-

donnée est S = — 7- : donc ‘ '

Portez, sur FF', FT égale à une troisième proportionnelle entre AO et là moitié de OE , et par le point T tiaonant 1TT' parallèle à OX , TT' sera la tangente à rcxtrcmlté du.diamètre Iransirer^, et la construction de la courbe n’olTrira plus aucune difficulté, la seconde équation (P') , résolue par rapport à 6 , donne '

Le diamètre « ■

r se construit ainsi :

Portez EG de E en G', et par le point. H , milieu de OG*, me-

nez HH' parallèle à OY ; prenez ensuite RR = FT et

menez RR' parallèle àOX : la droite RR' sera la tangente à la parabole à l’extrémité 'du diamètre HH'. ' <

Le lieu géométrique demandé est" donc unev ligne couiiie MGTOR , composée de deux portions de paraboles^ les portions restantes de ces courbes que l’on volt ponctuées sur la %ufë correspondent au supplément de l’angle donné.

" 138. Nous terminerons cetlë partie très importante de la discussion des courbes par un dernier problème , que nous analyserons en* entier. ^ . ‘j .

. Par deux pointe doon& E , F (Og. ao) ■ ' mener,' à un même pinot M d'une circonférence donnée A, deux droites EM, FM, égalemenl indioées sur le ra;on AM passant par ce ptâitt, c’est-à-dire telles que l’on" ait' ‘

ESD — PMI, ■ ■ . • •

Digiiized by CoogU

L’origine des coordonnées rectangulaires étant au cculrc du c*ercie donné , dont l’équation est - , '

les équations des droites seront

AM ÿ=^ar,

' et