DES DIAMÈTRES DES COURBES DU 2* DEGRÉ

164. On appelle diamètre d’une courbe toute ligne qui partage en deux partie» égale» un »y»tème de corde» parallèle».

Les diamètres d’une courbe peuvent être des lignes droites ou courbes; mais dans les lignes du deuxième degré , tous les diamètres sont rectilignes ; ce qu’on peut démontrer directement ainsi qu’il suit :

Étant donnée une courbe quelconque du S* degré, trouver le lieu géométrique des points milieux d’un système quelconque de cordes parallèles entre elles.

Soit l’équation générale des courbes du deuxième d^ré

A>^ -|- Bify-|-GiF2 -|-Dy j-E<c-f-F = 0 , (1

les axes étant quelconques et l’origine en un point quelconque de leur plan.

L’équation d’une sécante quelconque sera de la forme

jr=:ax-{-b ^ J (2)

et l’on obtiendra les coordonnées des points cominnos de cette sécante et de la courbe en combinant entre elles les équations (l)et(2).

La substitution de la valeur de y (2) dans l’équation (1) donne, toute réduction faite ,

ka^ 4-Ba + C

-f- ikah

-j-Da

Désignant par ai’, x" , les deux valeurs qu’on tireraitde cette équation , et par X l’abscisse du point milieu de la corde déterminée par la sécante (2) , on doit avoir nécessairement

et, d’après la théorie des équations algébriques, la somme des racines d’une équation étant égale au coefficient du deuxième terme pris en signe contraire divisé par le coefficient du premier , on aura

V 2Aa5 BA Da E

2(Aa" + Bo + C) ■

Cela posé , si Y désigne l’ordonnée du milieu de la corde , X et Y devront satisfaire à l’équation

^ Y=aX-|-A;

on aura, par conséquent, eu substituant la valeur précédente de X, et réduisant ,

Y Bai — Dfl* rt: Ea -f- 2CA

2(Aa=*-f-Bo + C)

Telles seraient donc les coordonnées du point milieu de la corde déterminée par la sécante

Si l’on élimioe entre les é(fuations (8) et (4) la quantité b , qui

correspood à une position particulière de la sécante , l’équation finale en X et Y représentera le lieu géométrique des points milieux de toutes les cordes parallèles à la droite

ÛUC.

Les équations (S) et (4) prennent la forme „

2 (Ao^ + Ba -f- C) a? + (2Ao -j- B) A -i- (Da + C) = 0 , -2(Aa»+ Ba + Q J- - (2C+ Ba) i+ (Da + E) a z= 0 ;

et, par l’élimination ordinaire, on obtiendra, après réductions successives , ’ '

2C “f“ Bu Du E 2Ao + B * “ 2Ao + B ’