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Après avoir construit cette valeur dn la portera de O en B' et A', et l’on achèvera le paralléiog^ntme B'GA'G'i Ensuite -menant OG et OG' indéBniment prolongées, on aura les asymptotes de la courbe. , ■

Connaissant les asymptotes;, il sufBra 'd'un seul pouit de la courbe pour en déterminer autant de points qu’on voudra. <

■ D’alUeurs, en divisant les angles des asymptotes eu deux parties égales, on aura la dkeetren des axes OA, OS, et par le n* 179(2*) On déterminera si l'on veut leur longueur ; de là les foyers, etc. ' ' ' .

Si l'on préivoit qu’on puisse employer une conetraction dnalogne à la première construction du n* 195 , relative à l’ellipse, on se servira -de préférence -de cette construction , • qui déler- -mine sur-le-champ la direction des axes et la longueur de l’axe transversc j .pour avoir la- longueur de l’axe non -transverse , on aura recours à la valeur précédente de B. ■ - .

‘ Nous donnerons bientôt un moyen plus sirapl&tle déterminer les axes. - ' ■ ' ^

Remarque. Si l’ellipse était traeée entièrement , ,oi^ si l’oii avait une portion snftisanté de deux branches de l’hyperbole , la construction serait trop facile, d’après ce qui précède, pour que nous ayons besoin de nous y arrêter. • t • ^

107. Troisième cas. Enfin, Si l’arc NÂDC (fig. 73) est un arc de parabole, après avoir déterminé la directioii IF des diamètres parallèles entre eux et à 4’axe (166) , 'par un point M, pris à volonté surl'arc donné, on abaissera la corde MPNÿporpendiculaire à II'. Par le point P j milieu de MN, on mènera l’axe APX, et par le point A, sommet de la courbe, AH perpendiculaire è APX. Maintenant , pour déterminer le foyer, on remarquera. que, si dans l’équation de la parabole ' ~

y ^ = 2pa? . . ■ '

on fait a? = y, on trouve ' • . •

De là vient le nom de latus rectum , côté de l’angle droit , que l’on donne quelquefois au paramètre.

De là aussi cette constructicui :

Diviâez l’angle HAP en deux parties égales par la droite AD ; par le point D abaissez DG perpendiculaire à APX f et prenez

AF ==^ AG; le point F sera le foyer (137). / . ...

. ' PROBLÈME. / • ■ • f .

■ 108, Étant donnée einupoiots sur on plan, détenniner te genre de la courbe du 2* deip'ë passant par ces cinq points. : -,

‘ Soient A, B, C, D, E (11g. 7è), les cinq, points donnés. .L’ensemble des droites AB, CD, peut être considéré comme use courbe du deuxième degré, ainsi que l'ensemble des droites AD, BC. Ces deux- lieux géométriques du deuxième degré ayant quatre points A,B, C, D, communs avec la côurbe.qui doit passer par les cinq points donnés , les trois diamètres conjngués au systèn^ de cordes parallèles à DE se couperont (ISA) en un point P , qu'il est aisé de déterminer ainsi qu’il suit :

Par un point quelconque , A ,■ pour plus de simplicité , on mènera la transversale kbo parallèle àD£ ; et par lespoints • et A, milieux des parties interceptées .lo, Ai , on mènera les droites lAP , HtP, qui détermiuerout le point P cherché: ,,

‘La droite qai'jèindrà le point P et le mitiéu M de la corde DE se confondra avec le diamètre'de la courbe coiqugué an système de cordes parallèles à DE.

Par une construction semblable ou délermioera la directioa du diamètre QN , conjugué à la' corde Â£.

Si les droites PM , QN , se rencontrent , 4a courbe sera une ellipse ou une Hyperbole , et leur point d’intersection O en sera le centre. ' -

Si elles sont parallèles , la courbe sera une parabole ^ dont l’axe est parallèle à ces droites PM, QN. La fig. Ik se rapporte an cas de l’ellipse. Nous engageons le lecteur à résoudre graphiquement le problème sur cinq points pris à volonté dans le

plan. *

PROBEÈME. , .

4 99. Étant donnés qnatre joints sur un plan , déterminer la direction de l’aie de la parabole assujettie a passe r par ces quatre points

« ‘ * *• Soient A, 6, G, D (fig. 75), les quatre points donnés; les droites

AD , BC , peuvent être considérées dans leur ensemble comme un lieu géométrique du detixième degré, ainsi que les droites AC , BD. Les diamètres conjugués à nu système ^quel.conque de cordes parallèles appartenant à ces deùx systèmes de lignes droites et à la parabole qui doit passer par les quatre points * communs à ces trois lieux géométriques du deuxième degré , devront se couper en un même point (185). Or, si l’on pouvait déterminer la direction des cordes pour lesquelles les trois diamètres conjugués se coupent en un point situé à l’infini ,' c'està-dire sont parallèles , la direcliou de ces diamètres serait ceAe de l’axe de la parabole.’ ' ^

Soit donc préposé de mener par le poipt A une droite AXY rencontrant BD en X , BC en Y , telle qu'il y ait, parallélisme * entre les droites qui joignent les points I et II avec' les milieux respectifs des cordes AX , AY.

., Jin supposant le problème résolu , soit AXY la droite demandée; par leà points N et M, milieux deAX, A Y, menons les droiiès indéfinies ING et HMP, qui rencontre AC en P.

Ces deux droites sont parallèles d’après réuoncé, Eufin , par le . point A menons parallèlement à'DB la droite "Æ , qui i euconlre IG, HP^enGeiF.- ..

Diaprés celte construmion, AG étantparollèleà IX, et le point,

N étant le milien dô AX, bn aura fN =:N6 : donc, si l’on joint>GX,

fe quadrilatère AIXG sera un paralléi6{praainie, et la droite ANX divise en deux parties' égales louics les parallèles à GNI comprises entre les côtés AE , AC ; donc le point M est le milieu de FP , comme il l’était déjà de AY par construction , et le quadrilatère AFYP est aussi un parallélogramme. '*

Alors, à cause des parallèles, on aura les proportions « r, FY__HY

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