OH = 2A, 01= 2B
et les deux moitiés OM = A , ON=B. . .
Pour déterminer la direction des aXes il suffit de trouver Tiudinaison de l’axe 2A sur le diamètre A'a' , laquelle a été repré' sentée précédemment par «. Pour cela on a i’éiqaation
A* an*« -I- cos*A '
qui donne
d’où
et
fiin a ‘
(A* — B*) àin*« + B* ’ B* A* - A'* ' 'Â^'A^- B2'
.±i|/ÏEZ
ce qui déterminera deux directions symétriques de l’axe SA par rapport au diamètre A'a' ; le second axe SB devant être perpendiculaire à SA , sa position sera déterminée.
181. Cette' valeur de sin é. ne fonrnissant pas une construction simple , on cberchera à déterminer a en fonction seulement des denti-diùmètres donnés A' , B' , et de l’angb 9 qu’ils font entre eux : pour cela on substituera dans l’équation de l’ellipse rapportée à ces diamètres conjugués ,
Af2y2+ =A«B'2 ,
les Valeurs
x' sin (9 — a) — jX cos (9 — a)
ar “ 1 : — “ — , !
sm 9 .
• ;r' sin a+y' cos «' * •
qui servent à passer d’un sy-stème d’axes obliques à un système d’axes rectangulaires. L’éqaat^n résultante devant conserver la même forme, on trouvera pour équation de condition . .
A’*sin«cos« — B'^sin(9 — u)cos(«— d’où l’on tirera . , ^
, A'^ sin 2a — B'* sin (29 — 0- ^
Développant siu (28 ~ 2«), et divisant par cos 2« , ''
A'^tang 2«— B'^ sin 29 +' B'^ cos 29 tang 2« = 0 , et enfin
„ sin -29 '
tang « ,
valeur qui s’accorde avec le récitât trouvé n* 68, et dans lequel il suffirait, pour s’en convaincre, de faire ..
En mettant la valeur précédente sous la foilme , ' B'8Îp2?\
tangSa^pj:
on pourra construire l’angle 2r d-nne manière assez simple , ainsi qn’il suit :
OA', OB'- (Bg. 65) , étant les diamètres conjugués donnés faisantentre eux l'angle donnée, menez OC telle, queCOB' = B'OA' et OC = OB'; du point C abaissez CQ, perpendiculaire sur OA :
OQ = B' cos 2 e, et CQ =B' sin 2 0. »
Achevez le parallélogramme OB'DQ, et rebaitez par un arc de cercle QD sur QR ; élevez la perpendiculaire indéfinie RS sur OA', et prenez QS = OA' , ensuite menez ST pcrp^diculaire à
QS, QT=|r^
Au point T élevez TV perpendiculaire à OA', et faites TV r= CQ = B' sin 29 ; tang 2« = tang TOV , et 2a =: TOV.
Divisez enfin l’angle TOV en deux parties égales pur la droite OA , qui sera la direction du grand axe de Tellipse ; OB perpendiculaire à OA sera la direction du petit axe.
Mous ferons connaître, bientôt une autre manière de rés9udre ce problème plus simplement encore. . ,
182, Étant donnés de grandeur et de direction deux dianiétra conjugués de l’hyperibole , déterminer ta diieetion et la grandeur des aies.'
On déterminera d’abord les asymptotes par la propriété du parallélogramme inscrit à l’hyperbole, dont le^ sommets doivent se trouver sur les asymptotes j ensuite, divisant les angles des asymptotes en deux, parties égales , on aura la4ii;ection des axes.
Pour la détermination de lu lougueur de ces axes , on aura recours au problème du n® 179 (2®).
188. Avant de donner quelques applications de cette théorie, BOUS ferons connaître une propriété remaéquable des diamètres conjugues des courbes du deuxième degré, laquelle consiste en ce théorème : •
, THÉQRÈME.
Lonqoe plaalenn eoarbes du -3* degré ont <iaatie points conmmnsi dans qnel< que direction qu*on leur mène des diamètres parollèiest ies conjugués de ces diamètres concourent en un seul et même point.
Soient + F = O)
E'a?-pF'=:0, ' (2j
A»jJ-|rB»a!y+C?»*+D'j'+E'a'+F'=0, (3)
- * . * * les équations de trois courbes du deuxième degré passant par
les mêmes quatre points. ^ ,
Multipliant les deux premières équations par deux facteurs m et fri indéterminés , et ajoutant les produits , on obtiendra
(Am -j- h! tri) y* -j- (Bm B'mO *y-f- (Cm -}~ C'm') a?* J «
-f-(Pm4-D'w*')J'-i-(E*™+Ê'»*0at-l-(Fm + F’m')| ’ ^
équation qui peut représenter, dans sa généralité , toutes les courbes du deuxième degré passant par les intersections des courbes (1) et (2),
Pour exprimer que cette courbe (4) représente la courbe (3) , c’est-à-dire si l’on veut que les trois courbes (1), (2),' (8) , aient les mêmes points d’intersection , il faudra qu’on ait à la fois
(Am + A'mO =: A' , (Dm + D'm') = ,
(Bm -f- B'mO s== B» , (Em + E'm') = E» ,
(Cm -f- Gtri) — C’ ;
■ (Fm -{- F'm') = F' ;
d’où l’on tire
2(Am-f- A'm')=: 2A*,.'
2(Cm+'C'm') = 2C*y
(Bm-f- B'm')='B»,
Bm -j- B'm' =:= B* ,
Dm + D'm' = D' ,
Em" -f- E'm' = E'.
Si l’on se rèporte au n° 22, on reconnaîtra que ces équations expriment la condition nécessaire et sufBsantè pour que les trois droites (D) et(D'),'
(D) 2Ay.4-Ba7 + D'=::0, -2Cx-fBy-|-E = 0,''' (D')
. 21l'y-j- B'ar-f D-— 0 , 2C'ar -i-B'y+ E'= 0 , ,
. 2 A'y-f- B"* H- D»= 0 , . 2C'ar + B»y +E'= 0 ,, - '
concourent en un même point.
Or , chacune des équations (D) n’est autre chose que l’équa-
tioh du diamètre de chaque courte, qui coupé en deux parties égales un système de cordes parallèles à l’axe des y, et chacune des équ^üoDs (D») le di^èlre conjugué à Taxe des a^; cès axes étant dirigés d’une mamèfe quelconque,' Uü Seul Système (Dj ou (D') suffit pour démontrer le théorème.
W P®W représeûtef une paratele , et pour cela il faut qu’on ait , .
( Bw + B'm’ ) =» - 4 ( Am -j- A'm' ) ( Cm -f Cm' ) = 0,.
Ceue relation détermine le rapport tuais né lui assigne que deuxTalëurs. > ... . i >
On en conclut que
Par qoaUïpDiau donnés «mpeat faire passer deux paralwles. '
* tx '
|8îS. Pour que l’équation (4) repré^ntàt un cercle, il faudrait quoneut “ . . - , v. r
- ( Am + A.' m ) = Cire -f. Om' ,
Bm-f- B'm'zsO. , . , / .
Eliminant m et m' entre ces deux éqüationi dé condition , on’ trouTera > , • .
condition nécessaire et suffisante pour qu’un Certle passe par le* intersections des courbes du deuxième degré (1) et (2). t.
186. Noos allons maintenant démontrer le théorème précédent d une mire manière, afin d’en tirer, de nouïeUesiM>opriétés.
TUÉQRËME ET PROBLÈME.
ont.qnatre points communs, dans «nelqne direCbon qu «n leur mène desdiamètres parallèles, les donjugués de ces ffiamètres concourent en un même JminU Déterminer ce point dans cba<iBo cas parUottlimV
Soient A, B, C, D, ( fig. 66 ) les quatre points communs à ces courtes; prenant pour axes des x et des y- les droites OAB.OCD, *i 1 on fait OA = «, OB = «’ , OC = |3 , 00=: /S', l’équafion d’une courbe quefconque du second degré passant par lès points G, D, et dont la forme générale est / • ■ ^
Ay^ + Bxy -f- Cai^ ^ Dy -f- Ex -f- F s=: 0 , ^ - • '
dçm être telle qa’en y faisant les valeurs correspond
dantes de y soient ^ et 00 aura donc '
Ay^-fPÿ+F ç= A (y— (y — 15') = Ay*— A (p+ ^') — Apj3';
d’où . D =-d A (P ^0»
F = A.jSjÿ.
Mais en y /aisant y = 0 , on doit trouver pour x les valeurs a, a' : ott aura diHic .
+ Ea?+ F = C (a?«) (x^aJ) =,Cjp* — C U a!) + Cor';
d’où E ~ -d C (« rf-
F CS C aa' f
ce qui exige qu’on ait
. App' =3 C««' ,
d’où \ C==A^,
* aa'
et par conséquent .
aa' •
L’équation générale des courbes passant par les qùatre points donnés sera donc
Ay* + &çy+A ap» — A (p+ p') a? 4- App» « 0 ;
ou , divisant tous les termes par A , et faisant— =s m , ' '
»uy - (P + P*) J'- a? + pp> z= 0. (E)
Celte équation , renfermant encore la quantité indéterminée nt , fait voir que par quatre points donnés on peut faire passer une infinité de courbes du deuxième degré, fl faut en effet généralement cinq conditibns pour déterminer ces courbes , et par conséquent celte équatioq (E) représente toutes les courbes possiblés du deuxième degré passant par les quatre points A, Cj D,
Soit yxxax l’équation d’une droite quelconque menée par l’origine, et concevons i]a’on ait-mené duns diacune de ces courbes
on diamètre parallèle à cette droite, d’après l’équétion (D) (164), l’équation générale du diamètre conjügué sera
aa*
équation qu’on peut mettre sous la forme »t (y + a«) +2a7 + 2 a — ~
•t* QL9,
et à laquelle on satisfera,' quel que soit m, en posant y + o» = 0,
acr ate'
Les valeurs de a; et de y 'qu’on tirera de ces deux équations seront les coordonnées du point de concours de tous les diamètres conjugués aux diamètres parallèles à la droite y =ox.
Ce' théorème général s’applique évidemment au cas particulier où l’équation générale (E) représente un système de deux droites, et [par conséquent les droites elles.mèmes âB,GD; AC, BD; AD, CB. . < ^
187. Si maintenant l’on conçoit que la droite y — ax tourne autour du point O, le point de concours déterminé par l'ensemble des équations (1) et (2) changera dç position poof chaque valeur particulière de a , et le lieu géométrique de tons ces points s’obtiendra en éliminant a entre ces équations (1) et (2) , ce qui donné r ' ' ' .
-f- oa' (P -j- p') y — pp' (« -f- a') a? zz 0 , (F)
équation d’une courbe du deuxième degf’é.
D’après la forme de l’équation-(F) , on reconnaît facilement que cette courbe passe par le point O , et que les droites OAB , OCD, sont parallèles à un de ses systèmes de diamètres.conjugnés; de plus,^ elle ne peut être une parabole; car elle a un {centre , dont les coordonnées sont , d’après les formules générales du centre, ' , ‘
TT-, s . -
Mais comme OB aurait trouvé un résultat parfaitement sentblable en prenant pour axes les droites AGI , BDI ; BHC, AHD, on peut en conclure que cettecourbe passe par les points I et H, et que les droites AGI , BDI j BHC , AHD, sont parallèles à un de ses systèmes de diamètres conjugués; et si l'on avait fait
IC = a, ID=i, ' HA=A, HB=3,
'IA -a', IB = A', HD=A'/ HC-B',
on aurait trouvé , par rapport à ces nouveaux axes , pour les coordonnées du centre
'iH'c
Ainsi , d’après le premier système, lè centre se trouve sur le milieu de la droite MN, qui Joint les milieux des côtés AB , CD ;
D’après le deuxième système , il se trouve sur fe milieu de la droite PQ , qui joint ïes milieux des côtés AC , BD ;
Enfin, d’après le troisième système, il doit se trouver sur le milieu de 'la droite RS , qui joint les milieux des diagonales AD , BC.
D’où l’on peut conclure ce théorèriie connu de géométrie.
' ' ' THÉORÈME. ’
DtfM tout quadrilatère plan, les droites qui joignent les milieux des côtés opposés et les milieux des diagonatesse coupent en leur milieu. .
168. Pour une valeur donnée de a , il sera facile de déterminer le point de rencontre de tousles diamètres conjugués: car en considérant les systèmes de droites OAB , OCD ; ICA , IDB , chacun comme une des courbes représentées par l’équation générale (E), on mènera une transversale quelconque UVU'V', parallèle à la droite y = ax, et les < deux droites OET , IFT , passant par O et I, et par les milieux E, F, des parties interceptées UV, U'V', détermineront le point cherché T-
. - 189. Si les quatre points A, B, C, D (fig. 67), sont les sommets d’un parallélogramme ^l’équation (E) , dans laquelle on fera
deviendra
. y2'4-ffiaiy + Ta^-^|S*=*0, .;
et représentera toutes les céurbes du deuxième dëgrë circonscrite au parallélogramme ÂBCD, rapportées aux diagonales prises poqr axes : le centre de ces courbes est donc an: point d’intersection des diagonales. Dans cette même hypothèse l’équation (F) devient
et représente deux droites , qui ne sont antre chose que les droites M'OM , N'ON , qui joignent les milieux des côtés du parallélogramme. '
100. Si les points A et B , C et D , se réunissent en un seul , auquel cas «'= «, ^ = pi , l’équation (E) devient
y* 4- fwary -f ^ J»? —
et représente toutes les courbes possibles du deuxième degré tangentes aux droites OAX, OCY, aux points donnés A et C (fig. 68). L’équation (f), dans ce cas particulier, se change en |SV — 0 1
et représente deux lignes droites , ' . ' '
dont l’une est le diamètre OM , qui passe par le milién de la droite des points de contact C, A, et Fautre une parallèle à ce diamètre , et passant par le point C. ' '
181. Si l’on veut que la courbe tangente aux denx lignes OX, OY, aux poipts donnés A.el C, soit une parabole , alors, à cause de la relation ,
B=* — ôAC = 0, d’où B= d:5KÂC,
et par conséquent l’cqualion (E) se change en . ,
d’oà l’on lire y = p — -a?, ^
• • . ■ . OC ■ ■ t
équation de ta corde qui joint les points de contact ; * -*•
ou y^ — ^~xy+^x^ — 2By—^t-x4-â^'±:0, -
équation complètement déterminée , et qui peut se mettre sous kl forme symétrique
Pf+ÎT;-*- ,
102. Si l’on suppose , ce qui est permis , m , k étant
une indéterminée ; et, après avoir fait « = p , si l'on divise tous les termes par on trouvera pour |3 =: « , my=zk^, équation de toutes les hyperboles rapportées aux mêmes droites OAX , OCY, comme asymptotes. 7
105. Enfin, si les quatre points A, li, C, D, se trouvaient sur une même circonférence, à cause de ««' = jSi^, l’équation (E) deviendrait . , ,
-j- ^ ^ aJ (|3 4. |S') J. (« -j- a') a? + |3^' = 0, et l'cquation (F) . •
; . ' 2*"-2y" + b + |SOy-(« + »')ar=0,
qui représente une hyperbole passant par les milieux des côtés du quadrilatère inscrit dans le cercle.- • ^ ,
.T Applications.
194. Étant donnée une portion de courbe du î» degré, !• détcrmincrl^pèce , 2" achever ou prolonger à volonté la courbe.
1* Soit ABC [ üg. 69 (a), (A), (c) ] , la portion dé courbe du deuxième degré tracée sur uu plan, ,
Par deux points m, ni' , pris à volonté sur la courbe, menez des cordes parallèles mn, m'n', et mp<, ni'p ;• et, après avoir divisé ces cordes en deux parties égales , menez les droites des points milieux ii' , hk'. Si ces droites se coupent dans l’intérieur de la courbe (a) , la courbe Sera une ellipse ; si elles scmt de plus perpendiculaires aux cordes, la courbe est un arc de cercle; si à l’intérieur (i), une branche d’hyperbole; si elles sont parallèles (c) , la courbe sera une parabole.
i08. 2» Premier cas. Si la courbe DAC (fig. 70) est une ellipse , après avoir déterminé le centre O, décrivez du point O, avec un rayon sufOsamrnent grand , un arc de cercle , qui coupe la courbe en deux points M et N ; du poipt Ô menez OP perpendiculaire sur MN et OB sur OA. * ‘
Si la perpendiculaire OPA rencontre la courbe donnée, prenez Oa c= OA , et Aa sera le grand axe.
. Pour déterminer le petit axe , décrivez un arc de cercle avec OA pour rayon ; prolongez MN jusqu’éuG, joignez OG et menez MQ parallèle 4 OA : QQ' sera le demi petit axe, qu’on portera en OB et OA. • ' , , -
Deuxième manière. Mais, sans supposer aucun casparliculimr, soit DC ( fig. 7Ï ) l’arc d’elUpse donné , et ,0 le centré , déterminé comme on 1> vu précédenuttent ; joignez un j^int D quélçonque et le point 0 par uné droite indéfinie, sur laquelle vous prendrez' Orf =: OD. Menez deux cordes supplémentaires DN , dN„ct par le pointO les droites AOo, BOA, paraUèks.àces cordes : ces droites détermineront les directions de* deux diamètres conjugués. Il sera toujours possible de s’arranger de ma- . nière que-l’ane de ces demies rencontre l’arc d’ellipse donné én un point A; alors prenez Qas3'OA,«t A» sera «a de ces. diamètres conjugués. > ■ '
Pour déterminer la grandeur du seœnd , par un point M la courbe menez l’ordonnée MP parallèle à OB ; puis aux points O et P élevez sur OA des perpendiculaires indéfinies , sur lesquelles vous prendrez O.A' = OA , PM' =:.PM.
' Joignez A'M' I qui d^ierntincra par sa rencontre avec OA un point I, par lequel menant IMB ,>oa déterminera ainsi le.flemidiamèlrc conjugué OB. ^
' On se rciidra facilement compte de cette, construction en se reportant au n» 78. < ' , ,! ‘ * > '
by Coogic
Connaissant de grandeur cl de direction un système do diamètres conjugüés de l’ellipse , on déterminera la grandeur et la direction des axes (180) , ensuite les foyers, et la courbe s’achèvera ou se prolongera sans dHlicullc.
Si l’arc DÂG se confondait avec l’arc BG (6g. 70) la courbe • donnée serait une circonférence. , ■
106. Deuxième cat. Si DAC (fig. 72) est un açc d’hyperlude , après avoir déterminé le centre O f et la direction d’un système de diamètres conjugués A’a' , Wb' , ainsi qu'il a été indiqué pour l’ellipse , on déterminera la longueur d’un des diamètres transverses A'o' en prenant Oa' = OA' , ejt il ne restera plus qif à déterminer la grandeur du second diamkre , dont on connaît la direction B'OA'.
Pour cela on prendra un point M à volohté sur l’arc d’hyperbole donné , et l’on mènera par ce point une ordonnée MP parallèle à OB'. De Féquation de la courbe ■Ay — BV=-A^B*
on tire .
p’ar conséquent
P— Aÿ
