P R O B L Ê M E XXXI V

Résoudre tous les cas des triangles sphériques rectangles , et des triangles sphériques ohliquangles.

Exposition sommaire des principales propriétés de la sphère, coupée par des plans on préliminaires de la trigonométrie sphérique.

1. La sphère est un solide terminé par une surface courbe , dont les points sont également distaus d’un point intérieur qu'on appelle centre. On peut regarder la surfacr de la sphère comme engendrée par la révolution d'une demi-circonférence autour du diamètre.

2. Le rayon d'une sphère est une ligne droite menée du crnlre à tout point de la surface ; le diamètre ou axe est une droite passant par le centre de la sphère et terminée de part et d'autre à la surface. Tous les rayons sont égaux ainsi que tous les' diamètres , dont chacun est double du rayon.

3. Toute section de la sphère , faite par tin plan , est un rrrrle : on appelle grand cercle la section qni nasse par le centre , petit cercle celle qui n'y passe pas. Si la section passe par le centre de la sphère , son rayon sera le rayon de la sphère ; donc tous les grands cercles sont égaux. Le plan de cette section partage la sphère en deux parties égales nommées hémisphères.

4- Deux grands cercles se coupent toujours en deux parties égales , car leur intersection commune passant par le rentre et un diamètre , ainsi les intersections des circonférences de ces cercles sont deux points diamétralement opposés , dont la distance est de i8o*. Deux grands cercles partagent la surface de la sphère eu quatre parties nommées fuseaux , chacune d’elles est renfermée entre deux demi circonférences. Si trois grands cercles ou quatre grands cercles avaient la même intersection , ils diviseraient la surface de la sphère en six fuseaux ou eu huit fuseaux , et ainsi de suite.

5. Deux points de la surface de la sphère, qui ne sont point diamétralement opposés, déterminent la position d’un grand cercle, parce que res deux points et le centre de la sphère sont trois points qui déterminent la position d'un plan.

6. O11 nomme axe d’un cercle le diamètre de la sphère , qui , passant par le centre de ce cercle , est perpendiculaire à son plan. Les extrémités de l’axe ont été nommées pâles de ce cercle.

y. De ce que les axes de tous les eerrles passent par le rentre de la sphère et que ce point est commun il tous les grands cercles, nous en conclurons qnr, 1.” Si un grand cercle est perpendiculaire à un autre , grand ou petit , il passera par les deux pôles de celui-ci. 2° Si un grand cercle passe par l’un des pôles d’un autre cercle , grand ou petit, il passera aussi par l’autre pôle et lui sera perpendiculaire. 3.“ Si un cercle, grand ou petit , est perpendiculaire à plusieurs grands cercles , l’axe de ec cercle sera l’intersection commune de res grands cercles , et par conséquent les extrémités de celte intersection en seront 1rs pôles. 4." Si un rende , grand ou petit , a l'un de ses pôles h l’inlcrseetion Commune des circo ifércnres de plusieurs grands cercles, il leur sei a perpendiculaire , et son antre pôle sera à la seconde intersection commune de ces circonférences. 5.” Tous les cercles <jui auront l'un de leurs pôles à l’une des extrémités de l’intersection commune de plusieurs grands cercles, auront pour axe cette intersection; et par conséquent seront parallèles entre eux. 6.* Si deux grands cercles A et R sont perpendiculaires entre eux, les pôles de A seront situés dans la rirronférenep de H et réciproquement. 7.“ Si un grand cerrle A a ses pôles dans la circonférence d’un grand cercle B , réciproquement le cercle B aura ses pôles dans la circonférence de A. H.° Tous les cercles qui ont un pôle dans la circonférence d’un grand cercle A , seront divisés ert deux parties égales par ce grand cercle, et l’intersection commune de chacun de ces ferrie* avec le cercle A , passera par le centre du premier et par conséquent en sera un diamètre, c j." Tous les cercles parallèles auront le même axe et les mêmes pôles et réciproquement, si plusieurs cercles ont un axe ou les pôles communs , res cercles seront parallèles.

8. On appelle zone , la partie de la surface de la sphère comprise entre deux plans parallèles , qui en sont les hases. L’un de ces plans p< ut être tangent h la sphère , c’està-dire, n’avoir qu’uu point commun avec sa surlace , alors la iôiic n’a qu'une hase. L’axe ou la hauteur d’une zôoe est la distance des deux plans parallèles.

Des Pboblêmes.

<l L'angle sphérique et, l formé stir U surface île b sphère par îles arcs de grand cercle. Alors il ne diffère pas de l’angle dièdre que foui les plans des arcs de cercle , dont la rencontre donne lieu à l'ongle sphérique, l.es angles sphériques sont mesures par les arcs de grand cercle et de prlil cercle , compris entre leurs cotés et décrits de leur sommet comme pôle ; ils sont égaux h l'angle rectiligne formé par les tangentes de ces arcs au point de rencontre. D’où il résulte que , si deux demi grands cercles passent par l’un des pôles de plusieurs cercles , tous les arcs de ceux-ci , compris par les deux premiers , seront d'un même nombre de degrés , ainsi chacun de ces arcs sert de mesure à l'angle Sphérique Formé par ces demi- cercles.

10. De la définition de l'angle sphérique et de sa mesure, on peut conclure ; i.* Que dans un fuseau les deux angles sphériques soûl égaux, i." Que les angles sphériques opposés au sommet sont égaux. 3.“ Que tous les angles sphériuucs formés par divers- arcs qui concourent ou sc coupent eu un point , valeut ensemble quatre angles droits ou 36o“.

4. » Que tous les angles sphériques formés eu un point par plusieurs arcs situés d’un même côte ne la circonférence d’un grand cercle, valent ensemble 180" ou deux angles droits.

5. ° Que des quatre angles sphériques formés par deux arcs qui se coupent, deux sout aigus et égaux entre eux ; les deux autres sout obtus et sont les supplémens des premiers.

11. Presque toutes les fois qu'il s’agit des distances entre plusieurs corps célestes, ce ne sont que des distances angulaires. Ou appelle distance angulaire les angles formés par les rayons visuels menés de l’ail de l'observateur aux points que l'on cousidère ou que l'on compare. En imaginant une sphère d'un rayon sullisamment grand , dont le centre soit h l’œil de l’observateur , les distances entre plusieurs points seront égales aux arcs de grands cercles compris entre les rayons de la sphère qui passeut par ces poiuls.

ta. La distance d’un astre à un grand cercle est seulement la distance angulaire, c'està-dire l’angle que le rayon visuel, mené de l'observateur à l’astre, forme avec le plan de ce grand cercle ; d'où il résulté que celte distance angulaire se compte sur la circonférence d’un grand cercle passant par le pôle du premier et par l'extrémité du rayon visuel mené à l'astre.

13. La distance angulaire d'un point à un petit cercle, sc mrsurc sur l'arc de grand cercle déterminé par l'arc de ce cercle et par le rayou de la sphère mené à ce point.

14. Lorsque plusieurs sphères sont roucciitriques , on nomme cercles correspondons ceux dont les circonférences passent par les extrémités des mêmes rayons.

lô. Les petits cercles corrcspondans de plusieurs sphères rouccntriques, sont des sections parallèles i la base d'uu même cône , ds out un même axe qui est l'axe du cône et de ses sections.

1C. Les grands cercles corrcspondans de plusieurs sphères concentriques sont dans un même plan.

17. La distance entre deux cercles parallèles sc mesure sur l’arc de grand cercle qui passe par leurs pôles; c’est-à-dire sur l’arc de graud cercle perpendiculaire aux cercles parallèles. La distance entre deux cercles parallèles d'une sphère est égale à la distance entre leurs cercles correspondans d’une autre sphère concentrique.

18. La distance angulaire d’un point à tous les cercles corrcspondans de plusieurs sphères concentriques est la meme. Les circonférences et les point» correspondans sont placés aux extrémités des mêmes rayons.

ig. L'œil de l’observateur étaul an centre d’une sphère indéfinie , pour comparer le* dislauccs angulaires de plusieurs points ou de leurs cercles respectifs , on peut concevoir que tous ccs poiuts sout placés sur la surface de celte sphère , aux extrémités des rayons qui passent par chacun d’eux.

30. Les pôles de tous grands cercles sont dislans de ces cercles de gr>°. La distance d’un pniul au pôle d'uu grand cercle est complément de la distance du point à ce cercle. Si la distance perpendiculaire d’un point à un grand cercle e»t de tjo*, ce point eu sera le pôle. L’angle aigu forme par drnx grands cercles est égal à la plus petite distance de leurs potes. Si A cl B sont deux grands cercles , la distance du pôie du cercle A au cercle B , est égale à la distance du pôle du cercle B au cercle A. L’angle formé par deux grands cercles A et li , est complément de la distance du pôle de A au cercle B , et de la distance du pôle de B au cercle A,

Googh

Dus Problème*.

ai. Le pôle d’un cercle esl également éloigné de tous le* point* de sa circonférence. 32. Lorsque deux plans passent par le centre de la sphère , ils partagent sa snrface en quatre fuseaux ; et si ces plans sont coupes par un troisième , passant aussi par ie ceutre mais non pas par l'intersection commune des deux premières , ces trois plans divisent la surface de la sphère en huit parties , dont chacune est terminée par trois ares de grands cercles ; c'est à chacune «le ces parties que Pou a «louné le nom de triangle sphérique. Un triangle sphérique est donc une partie de la surface de la sphère , comprise par trois arcs de grands cercles; ces trois arcs, qu'on nomme cotés du triangle, sont plus petits qu’une demi-cirronférenre, les trois angles formés par ces arcs , nommés angles du triangle , sont tous saillaus et par conséquent moindres «pie deux augles droits.

a3. Nous remarquerons que , si des «nuire triangles situés sur un même hémisphère , on en retranche un, le reste formé parla réunion «les trois autres, détermine une espèce de triangle ayant un angle rentrant et dont le côté opposé à cet angle est pins grand

3 ne la demi-circonférence ; mais il est évident «pie la connaissance «les côtés et des angles u triangle retranché, fera connaître immédiatement les côtés et les angles du triangle, reste de l'hémisphère. De plus, si des huit triangles situes sur la surface de la sphère, on eu retranche un , le reste formé par la réunion des sept autres détermine une espèce de triangle , dont les angles sont reutrans cl les côtés opposés plus grands qu'une demicirconférence , de même il sera facile Je se convaincre que la connaissance des parties du triangle retranché, fera connaître immédiatement relies «lu triangle, reste de la surface de la sphère. D’où nous pouvons conclure <|ue la détermination «les parties d'un triangle sphérique quelconque , se réduira toujours à celles d’ua triangle dont tous les angle* sont saillaus.

3.4- Dans un triangle sphérique à angles saillans, qui sont les seuls que nous considérerons. i.° La somme des trois côtés est moindre que la rirronférence entière ou 360”; a.” La somme des trois angles est moindre «pie six angles droits ou 54o°, et elle est plus grande que deux angles droits ou i8o°; 3.° Les côtés égaux sont opposés à des angles égaux ; et réciproquement aux angles «'gaux sont opposés des côtés égaux ; 4.° A u plus grand côté est opposé le plus graud angle , et au plus grand angle est opposé le plus grand côté.

Lorsque le triaugle sphérique est rectangle , c'est-a-dire lorsqu'il a un angle droit ; s.° Aux angles aigus sout opposés des côtés moindres, et aux angles obtus des côtés plus grands que go° ; a.” Réciproquement , suivant que les côtés sout plus petits ou plu* grands que qo° , tes angles opposés sout aigus ou obtus; 3.° Selon que les côtés adjaceus à l’angle droit sont de même ou de différente espèce , l'hypothémise est moindre ou plus grande quego*; 4-° Réciproquement , si l’hruothénuse est moindre ou plus grande que 90" , if» deux côtés sont de même ou de différente espèce.

2 5. Les Problèmes relatifs i la résolution des triangles sphériques «h- pendent des relations essentiellement différentes , qui lient entre elles quatre des six quantités qui le* composent.

Ces relations sont entre î

1 Un augle et les trois côtés ;

II Deux angles et les deux côtés opposés ;

III Deux aDgles et deux côtés , dont un est commun aux deux angles ;

IV Trois angles et un côté.

Nommons A, B, C, les trois angles d’un triangle sphérique quelconque ; a, A, r, les trois côtés opposés construits sur la surface d'uoe sphère dont le rayon est pria pour unité.