II. Relation entre deux angles et les deux cités opposés

37. Si dans l'équation sin.* A = i - cos.* A , nous mettrons la valeur de cos. A , tirée de (i) de U relation 1, nous aurons

cos.» a + co*." b co*.* f - 5 ro*. a ro«. b co«. r «in.* A ss 1 — . ; —

un.* u sut.* c

réduisant au même dénominateur, puis niellant au numérateur i - eos.* b et i - cos ’ c au lieu de siu.’ b et sin.’ c et enCn multipliant les deux termes de 'la fraction par sin.’ a , nous aurons ,

* f i — co«.* a — co*.» b — coi.» c 4- a co«. a rot. b co».

= «in.» a I : : t — . I

\ *in.» a un.» b sin.» c /

*in.» A :

sin.» a lin.» b sin.» c

qui pourra s’écrire en représentant la fraction par il/*

siu.* A = sin.* a l/‘ ou sin. A — sin. a il/. .

Opérant de la même manière pour les angles R et C , ou remarquant que M est une fonction symétrique et invariable des trois côtes , le triangle ARC donne les équations

sin. A = sin. a M ; sin. B — sin. b M ; sin. C — siu. c il/ desquelles on tire

•in. A «tu. B

sin. A sin. a lin. A

«in. R «in. b

sin. C

sin. R «in. C

sin. b «m. c

«in. b «in. C «ta. c

c'est-à-dire que dans un triangle sphérique quelconque les sinus des angles sont proportionnels aux sinus des cités opposés.

aH. Pour parvenir à trouver les deux dernières relations , nous allons obtenir des formules coulenant cinq des six parties du trûugle.

La relation l nous a donné les trois équations (i) ; (a); et (3), multiplions

l’équation (i) par cos. b; puis la même équation (t) par cos. c

(a) par cos. c ; et la même équation (a) par cos. a

(3) par cos. a ; ensuite cette équation (3) par cos. b

nous obtiendrons six équations, parmi lesquelles nous trouverons deux valeurs de cos. a cos. b deux de cos. a cos. c et deux de cos. b cos. c

Cela posé , dans les équations de la relation I , faisons les substitutions suivantes : dans l'équation (i), successivement les deux valeurs de cos. b cos. c

(a) , celles de cos. a cos. c

(3) , successivement celles de cos. a cos. b

Réduction faite, nous obtiendrons six équations contenant cinq des six parties du triangle.

cos.

sin. c

sin. o

cos.

co».

sin.

b COS.

co*.

sin. b

«in. o

COS

cos.

«in.

cos.